Álgebra Para Licenciatura

.

[pic 1]

CAPÍTULO 1  - QUESTÕES 1 A 12

01 – Calcular a soma dos “n” primeiros inteiros positivos. SOLUÇÃO:-  Vamos escrever a soma dos n primeiros números inteiros positivos em ordem crescente e a mesma soma em ordem decrescente, temos S    =  1   +    2        +   .........   +   n – 3   + n – 2  +    n – 1  +    n S    =   n  +   n – 1    +   ........    +     4      +    3    +       2     +    1 Somando as duas igualdades: 2S = (n + 1) + (n + 1) +  ........    + (n + 1)  + (n + 1)  + (n + 1)  + (n + 1) Observe que serão  n parcelas iguais a (n + 1).  Portanto, 2S = n(n + 1) ⇒ S = n(n + 1)/2. Resposta: S = n(n + 1)/2.

02 – Calcular o inteiro positivo n, sabendo que   3n+2 . 2n+3 = 2592. SOLUÇÃO:-  Decompondo 2592, obtém-se 34.25.   Portanto, n + 2 = 4 ⇒ n = 2, ou 5 = n + 3 ⇒ n = 2. Pois a forma de decomposição em fatores primos é única. Resposta: n = 2.

03 – Calcule o inteiro positivo n, sabendo-se que:  3n + 3n+1 + 3n+2 + 3n+3 = 1080. SOLUÇÃO:- Observando a soma, verifica-se ser uma soma de potências sucessivas de 3. Temos que: 31 = 3, 32 = 9, 33= 27, 34 = 81, 35 = 243, 36 = 729 e 37 = 2187. Como pode ser notado, n + 3 < 7 ⇒ n < 4.  Portanto, n só poderá ser igual a 1, ou 2 ou 3. Para n = 1, a soma é 3 + 9 + 27 + 81 < 1080. Para n = 2 , a soma é 9 + 27 + 81 + 243 < 1080. Para n = 3, a soma é 27 + 81 + 243 + 729 = 1080. Portanto, n = 3. Resposta: n = 3.

04 – Achar os valores de n < 7 para os quais n! + 1 é um quadrado perfeito. Solução: N = 7 ⇒ 7! + 1 = 5040 +  1 =  5041  é o quadrado de 71. N = 6 ⇒ 6! + 1 =    720 + 1 =    721 não é quadrado. N = 5 ⇒ 5! + 1 =    120 + 1 =    121 é o quadrado de 11. N = 4 ⇒ 4! + 1 =     24 + 1 =      25 é o quadrado de 5. N = 3 ⇒ 3! + 1 =       6 + 1 =       7 não é quadrado perfeito N = 2 ⇒ 2! + 1 =       2 + 1 =       3 não é quadrado perfeito  N = 1 ⇒ 1! + 1 =       1 + 1 =       2 não é quadrado perfeito N = 0 ⇒ 0! + 1 =       0 + 1 =      1 é o quadrado de 1. Resposta: 7, 6, 5, 4, e 0.

05 – Sendo m e n inteiros positivos, dizer se é verdadeiro ou falso: Solução: a) (mn)! = m!. n!   (falso) pois (2.3)! = 6! = 720 e 2!. 3! = 2 x 6 = 12. b) (m + n)! = m! + n!   (falso) pois (2 + 3)! = 5! = 120 e 2! + 3! = 2 + 6 = 8. Resposta: (a) Falso e (b) Falso.

06 – Demonstrar:    (n – 1)! [(n + 1)! – n!] = (n!)2 SOLUÇÃO:- (n – 1)! [(n + 1)! – n!] = (n – 1)![(n+1)n! – n!] = (n – 1)! {n![(n +1) – 1]} =  = (n – 1)!.n!.(n) = n(n – 1)! . n! = n! . n! =  (n!)2. cqd.

07 – Sendo n > 2, demonstrar:   (n2)! > (n!)2. SOLUÇÃO:- Desenvolvendo (n2)! , temos:  (n2)! = n2 . (n2 – 1) . (n2 – 2)...... 3.2. 1, produto de todos os inteiros de 1 até n2. Para (n!)2, resulta:   n(n – 1).(n -2)....3.2.1 . n (n – 1).(n-2).... 3.2.1 =  = n2 . (n –1)2 . (n –2)2 ..... 32. . 22.12 = = n2 . (n –1)2 . (n –2)2 ..... . 9.4.1  produtos dos quadrados perfeitos de 1 até n2. Como pode ser notado, (n!)2 está contido em (n2)!. Portanto (n2)! > (n!)2 . cqd

08 – Decompor o inteiro 565 numa soma de cinco inteiros ímpares consecutivos. SOLUÇÃO:- Como 565 é positivo e os cinco inteiros também são consecutivos, os mesmos também serão positivos. Um número impar tem expressão 2n + 1. Seus consecutivos são obtidos somando 2 ao anterior. Portanto, 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 565 🡺 10n = 565 – 15 🡺 n = 55.   Os números são: 2.55 + 1 = 111, 111 + 2 = 113, 113 + 2 = 115, 115 + 2 = 117 e 117 + 2 = 119. Resposta:- 111, 113, 115, 117, 119. Observação:-  Note que o termo do meio é a média de todos eles. Assim, poderíamos ter usado: 565 : 5 = 115.  Os outros seriam, dois impares antecessores e dois sucessores. 115, 113, 111 e 117 e 119.

09 – Achar todas as soluções inteiras e positivas da equação (x + 1)(y + 2) = 2xy. SOLUÇÃO:- Para maior facilidade expressemos uma das variáveis em função da outra. (x + 1)(y + 2) = 2xy 🡺 xy + y + 2x + 2 = 2xy Expressando y em função de x 🡺 y – xy + 2x + 2 = 0 🡺 2(x + 1) = y.(x – 1) 🡺 y = 2.(x +1)/(x – 1). Como x e y são inteiros positivos, x > 1. Expressando x em função de y 🡺 xy – 2x = y + 2 🡺 x(y – 2) = y + 2 🡺 x = (y + 2)/(y – 2)🡺 y > 2. Para y = 3 🡺 x = (3 + 2)/3 – 2) = 5 Para y = 4 🡺 x = (4 + 2)/4 – 2) = 3 Para y = 5 🡺 x = (5 + 2)/(5 – 2) = 7/3, não é inteiro. Para y = 6 🡺 x = (6 + 2)/(6 – 2) = 2. Como x > 1, os valores são (x = 2, y = 6),  (x = 3, y =4) e (x = 5, y = 3). Resposta: (x = 2, y = 6),  (x = 3, y =4) e (x = 5, y = 3).

10 – Achar um inteiro positivo de dois algarismos que seja igual ao quádruplo da soma dos seus algarismos. SOLUÇÃO:- Um número de algarismos a e b, na base 10 é expresso por 10a + b. Portanto, 10a + b = 4(a + b)   🡺 6a = 3b 🡺 b = 2a. Ou seja, qualquer número de dois algarismos, onde o algarismo das unidades é o dobro do algarismo das unidades. Como b< 10, temos: 12, 24, 36 e 48.  Resposta: 12, 24, 36 e 48

11 – Achar o menor e o maior inteiro positivo de n algarismos. SOLUÇÃO: Menor: 1º algarismo igual a 1 e os demais (n – 1) algarismos iguais a zero. Portanto, 1 x 10 n – 1. Maior: todos os n algarismos iguais a 9, ou 1 seguido de n zeros menos 1 🡺 1.10n – 1 Resposta: menor 1 x 10 n – 1 ; maior = 1.10n – 1 Observação: Considerando,  n = 5.  Menor 10000 = 1.105 – 1 = 1.104  Maior  99999 = 100000 – 1 = 1.105 – 1.

12 – Resolva a equação:   (x + 2)! = 72.x! SOLUÇÃO:- Como (x + 2)! = (x + 2).(x + 1).x! , podemos simplificar a equação, reduzindo-a para x (x + 2).(x + 1) = 72.  (x +2) e (x + 1) são números positivos, de acordo com a definição de fatorial, e, além disso, são consecutivos. Os dois inteiros consecutivos cujo produto é 72 são 8 e 9. Portanto, x + 2 = 9 🡺 x = 7. Resposta: x =7.

Resolvido e editado por Cesário José Ferreira

[pic 2]

...