A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo físico que o cerca. Particularmente, o Cálculo teve sua aplicação estendida aos fenômenos físicos mensuráveis como, por exemplo, eletricidade, ondas de rádio, som, luz, calor e gravitação.

A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto.

O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente.

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo ]a, b[; sejam xo e xo + ∆x dois pontos desse intervalo. Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo + ∆x sofrendo uma variação ∆x (incremento de x), o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo + ∆x) sofrendo, portanto, uma variação ∆y (incremento da função f), onde ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo) conforme mostra a figura seguinte:

Dizemos que a derivada da função f no ponto xo é

= se ele existir e for finito.

Nesse caso, dizemos também que f é derivável no ponto xo.

NOTAÇÕES DA DERIVADA

A derivada de f será indicada por uma das quatro formas abaixo:

f ’(x)

y’

EXEMPLOS

1) Calcular a derivada da função f(x) = x² no ponto xo = 2.

Solução

2) Determinar a derivada da função f(x) = 4x2 + 1, através da definição.

Solução

EXERCÍCIOS:

1) Determine a função derivada através da definição.

a) f(x) = x² - 2x + 1;

b) f(x) = x² - 8x + 9

c) f(x) = x3 - x;

d) f(x) = x² + 1, no ponto xo = 5

e) f(x) = 3x², no ponto xo = 2

f) f(x) = x², no ponto xo = 1

g) f(x) = 2x² - 2, no ponto xo = 3

RESPOSTAS:

1) a) f ’(x) = 2x – 2 b) 2x – 8 c) 3x2 – 1 d) 10 e) 12 f) 2 g) 12

FÓRMULAS OU REGRAS DE DERIVAÇÃO

Até agora, vimos como calcular a derivada de uma função por meio da definição. Entretanto, como esse processo é demasiado longo, estudaremos algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função mais facilmente.

Faremos a demonstração de apenas algumas dessas regras, pela aplicação da definição de derivada. As outras regras também podem ser demonstradas pelo mesmo processo.

Vejamos algumas derivadas fundamentais.

a) Derivada da função constante:

Se y = f(x) = c então y’ = f’(x) = 0 .

Demonstração

Se x é um ponto qualquer de R temos:

Exemplos

1) y = -5  y’ = (-5)’ = 0

2) y = 3  y’ = (3)’ = 0

b) Derivada da função identidade:

Se y = f(x) = x então y’ = f’(x) = 1 .

Demonstração

Se x é um ponto qualquer de R, temos:

c) Derivada do produto de uma constante por uma função

Se y = c  g(x) então y’ = c  g’(x) .

Demonstração

Se x é um ponto qualquer de R, temos:

Exemplos

1) y = 5x  y’ = (5x)’ = 5 (x)’ = 5  1 = 5

2) y = -3x  y’ = (-3x)’ = -3

3) y = -x  y’ = -1

d) Derivada da função potência y = xn

Se y = xn então y’ = n . xn-1 para n inteiro positivo.

Exemplos

1) y = x5  y’ = 5 x5-1 = 5x4

2) y = 2x4  y’ = 2 4x4-1 = 8x3

3)

e) Derivada da função

Esta fórmula só pode ser aplicada quando o radicando é a variável x (função identidade).

Exemplos

f) Derivada da soma de funções

“A derivada da