Dedução Da Equação De Bernoulli

A figura abaixo representa uma linha de corrente de um escoamento planar.

Nesta figura pode-se observar a representação dos vetores unitários tangente T e normal N, à linha de corrente ilustrada assim como o versor k e o campo gravitacional g. O comprimento infinitesimal de arco de linha de corrente está denotado por ds. Iremos supor a linha de corrente parametrizada em termos das coordenadas do referencial definido pelos versores T e N em cada ponto.

Nestas circunstâncias poderemos exprimir o vector velocidade V em cada ponto da linha de corrente por

V =VtT + VnN

em que VT e VN representam, respectivamente, as correspondentes componente tangencial e normal. Como se sabe, por definição de linha de corrente, o vetor velocidade V de um escoamento, é tangente a cada um dos pontos da linha de corrente. Desta forma, numa linha de corrente, a componente normal VN da velocidade é nula e a componente tangencial é igual ao valor absoluto de V, tornando-se assim possível representar a velocidade do escoamento em cada ponto, por

V = V t

V = V t, representa como já foi dito, o valor absoluto da velocidade vetorial V em cada ponto da linha de corrente.

Representemos a Equação de Euler em termos das coordenadas associadas à linha de corrente e na sua direção.

Comecemos por observar que o primeiro membro da Equação de Euler se

reduz a

já que a velocidade V tem uma componente normal nula na linha de corrente.

Notemos que esta última expressão ainda se pode escrever como

ja que o termo V² σT/ σs representa uma aceleração normal à linha de corrente. Por outro lado, a componente do gradiente de pressão γp na direção tangencial à linha de corrente reduz-se a

Quanto à componente tangencial, à linha de corrente, do peso volúmico pg, facilmente concluímos que

Supondo o escoamento estacionário, (σV/σt) = 0, a Equação de Euler na direção da linha de corrente assume a forma

Naturalmente se a massa volúmica for constante, obtemos

condição esta que só se verifica quando

ao longo de uma linha de corrente. Esta última expressão é a Equação de Bernoulli.