A aparência do cálculo integral

ETAPA 1

PASSO 1

O surgimento do Cálculo Diferencial Integral

O cálculo diferencial integral, conhecido como cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.

Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.

As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+

(8-1)+(27-8)+(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento ”infinitesimal”.

Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como o ydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por o ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y, ou y = dY. Em tempos modernos, Y é nossa antiderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

PASSO 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: (a³/3+3/a³+3/a) da?

ʃ (a³/3+3/a³+3/a) da

ʃ (a³/3 da + 3/a³ da + 3/a da)

1/3.a4 + ((-3.(a^-²)/2)) + 3ln|a| + C

a4/12 – 3a-²/2 + 3ln|a| + C

a4/12 – 3/2a² + 3ln|a| + C

A alternativa correta é a “ B ”.

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C(q) = 1000+50q

ʃ (1000 + 50q) dq

1000q + 50q²/2 + C

1000q + 25q² + C

C(0) = 10000

C(0) =1000q+ 25q² + C

C(0) = 1000(0)+ 25(0)² + C

10000 = 0 + 0 + C

C = 10000

C(q) = 10000 + 1000q + 25q²

A alternativa correta é a “ A “.Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1 e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

∫ 2^4〖16,1 e0,07t〗 U = 0,07t du = 0,07 dt du/0,07 = dt

16,1∫ 2^4〖 (e^0,07t)〗 dt

16,1 ∫ 2^4〖(e^u)〗 (du/0,07)

(16,1/0,07)∫ 2^4〖 (e^u)〗 du

(16,1/0,07)(e^u )|24

230(e^u )|24

230(e^4 )- 230(e^2 )

304,32 – 264,56 = 39,76

A alternativa correta é a “ C “.

Desafio D

A área sob a curva y = (e^(x/2) ) de x = -3 a x = 2 é dada por:

∫ (-3)^2〖 (e^(x/2))〗 dx u = x/2 du = 1/2dx 2du = dx

∫ (-3)^2〖 (e^u)〗(2du)

2∫ (-3)^2〖 (e^u)〗(du)

2 (e^(x/2)) |-3 2

5,4365 + 0,4462 = 4,99

A alternativa correta é a letra “A”

PASSO 3

Desafio A

R: A alternativa correta é a letra “B”, que corresponde ao número 3.

Desafio B

R: