ANALISE MATEMATICA

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Capıtulo 3 Func oes reais de n variaveis

1 Derivadas parciais

∂xi

• Assim, o calculo pratico da i−esima derivada parcial de uma func ao real f(x1,...,xn) se faz considerando todas as variaveis como se fossem constantes, exceto a i−esima, e aplicando as regras usuais de derivac ao em relac ao a essa variavel.

superfıcie fazendo y constante igual a b. Portanto, ∂f ∂x (a,b) e a inclinac ao da reta tangente a essa curva, no ponto (a,b,f(a,b)), em relac ao ao plano horizontal.

Analise

x,b, ∂f

Observac ao 1.3. A i-esima derivada parcial ∂f ∂xi da informacoes sobre o comportamento de f ao longo de um segmento de reta contido em U e paralelo ao i−esimo eixo.

Nesse caso, teremos que ∂ ∂xi f(a) existe em todos os pontos de U e e igual a zero. Mas a recıproca nem sempre e verdadeira, como veremos abaixo.

para todo a ∈ U, entao f independe da i−esima variavel.

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Derivadas parciais

Observac ao 1.4. Em R2, dizemos horizontalmente e verticalmente convexo, em vez de 1−convexo e 2−convexo, respectivamente.

Observac ao 1.5. A existencia apenas das derivadas parciais nao permite conclusoes sobre o comportamento n−dimensional da funcao. Por exemplo, a existencia de todas as derivadas parciais num ponto nao implica a continuidade da func ao nesse ponto.

E, na origem:

Assim, f possui derivadas parciais em todos os pontos de R2. Mas f nao e contınua na origem.

Analise 2 Derivadas direcionais

direcional de f no ponto a, segundo o vetor v, e o limite:

quando tal limite existe.

Observac ao 2.2. As derivadas parciais sao casos particulares das derivadas direcionais, pois: ∂f ∂xi

∂ei (a) e a derivada direcional de f no ponto a, segundo o vetor ei.

Fig. 3: f ao longo do caminho retilıneo λ

• ∂f

• ∂f

e o limite

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Derivadas direcionais

αt =α ∂f

Mas, pode ocorrer que a derivada direcional ∂f∂v exista em todos os pontos do domınio de f, segundo todos os vetores v ∈ Rn, sem que se tenha necessariamente:

Pode-se provar, a partir da definic ao, que existe ∂g ∂v