Analise Matematica - Axiomas

Em análise matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a um modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega ao resultado.

As provas empregam lógica proposicional, tendo dentre seus elementos uma cadeia de afirmações (proposições) ligadas por implicações.

Além da lógica, as provas usualmente incluem alguma quantidade de linguagem natural, o que pode levar a ambiguidade ou dificuldade de entendimento, tendo em vista o caráter deste tipo de linguagem ser mais dependente da interpretação humana. Assim, a forma como a grande maioria das provas na matemática é ensinada pode ser considerada como aplicações da lógica informal, mas uma afirmação só deixa de ser considerada uma conjectura após ter uma demonstração escrita usando lógica formal nos trechos onde pode haver ambiguidades.

No contexto da teoria da prova, em que as provas puramente formais são consideradas, as demonstrações não inteiramente formais são frequentemente chamadas de "provas sociais"

Independentemente da atitude que se tenha em relação ao formalismo, o resultado provado é um teorema4 ; em uma prova completamente formal isto seria o ponto final, e a prova completa mostra como o resultado segue apenas dos axiomas. Uma vez o teorema provado, ele pode ser usado como base para provar outros enunciados. As chamadas fundações da matemática são aqueles enunciados que não se pode, ou não é necessário, provar.

Prova direta: A conclusão é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas já existentes. Partindo da hipótese, use diretamente propriedades e regras válidas até chegar na tese. Ou seja, a prova direta é a forma mais simples de demonstração, e a mais óbvia: para demonstrar que p⇒q assuma que p é verdadeiro, e através de uma série de etapas, cada uma seguinte das anteriores, conclui-se q. Ex: Demonstre que, se n, m são números pares, então n + m também é par. Hipótese (assumimos como verdade): n, m são números pares. Tese (conclusão): n + m é par.

Prova Contradição: (também conhecida como reductio ad absurdum): é mostrado que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto o enunciado deve ser falso.

Buscando do primeiro exemplo (“ p ⇒ q ”) é equivalente à sua contrapositiva “não q ⇒ não p”. Disto resulta que, se “não q ⇒ não p ” for verdadeira, então “ p ⇒ q” também é, e vice-versa; ou seja, se demonstrarmos a contrapositiva, a proposição original estará automaticamente demonstrada.

Ex: Demonstre que, se n2 é par, então n também é. Proposição: n2 é par ⇒ n é par. Note que a proposição é bem simples, e poderíamos usar uma demonstração direta. Contudo, ao observar a contrapositiva: Contrapositiva: n é ímpar ⇒ n2 é ímpar. Demonstração: A contrapositiva é verdadeira, conforme demonstramos no exemplo 2. Portanto, a proposição original também é verdadeira.

Prova por Redução ao Absurdo: Uma demonstração por redução ao absurdo é uma técnica de demonstração no qual se demonstra que se, alguma proposição do tipo p fosse verdadeira, ocorreria uma contradição lógica, e portanto p só pode ser falso, disto resultando que não p é verdadeiro.

Ex: Algum dia será possível criar um programa de computador que sempre ganhe no xadrez?

Suponha, por um momento, que a seguinte proposição é válida: p = “existe um programa de computador que sempre ganha no xadrez” Supondo que tal programa existe, instale a mesma cópia em dois computadores e coloque um para jogar contra o outro. Ou o jogo terminará empatado (sem nenhum ganhador), ou um dos computadores perderá. Em qualquer destes casos, pelo menos uma das duas cópias do programa não vai ganhar o jogo, uma

contradição, já que assumimos que o programa sempre ganha. Portanto, não existe (nem nunca existirá) um programa que sempre ganhe no xadrez.

Prova Contra-Recíproco: A é aquela cujo antecedente é a negação do consequente da implicação contrarrecíproca primeira e cujo consequente é a negação do antecedente da primeira, por outras palavras, é a contrária da recíproca da primeira.

Ex: A implicação contra-recíproca de “se choveu, então fui ao cinema” é “se não fui ao cinema então não choveu”.

A implicação contra-recíproca é especialmente importante pelo fato que resulta simplesmente de uma implicação ser falsa quando, e só quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, ou seja, quando, e só quando, a negação do consequente é verdadeira e a negação do antecedente é falsa:

Regra da passagem ao contrarrecíproco: Uma implicação entre duas proposições e a

implicação contrarrecíproca têm sempre o mesmo valor de verdade.

Prova por Indução: um caso base é provado e uma regra de indução é usada para provar uma série de outros casos (normalmente infinita).

Suponha que desejemos provar o seguinte enunciado:

para todos os números naturais n. Esta é uma fórmula simples para a soma dos números naturais de 1 a n. A prova de que o enunciado é