ATPS Calculo 3 Etapa 1 E 2

ETAPA 1

PASSO 1:

O surgimento do Cálculo Diferencial Integral

O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo, é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química, física clássica, física moderna e economia. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais.

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma.

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

PASSO 2:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫▒( a^3/3+ 3/a^3 + 3/a)

F (a) = 12 a^4 – 3a²/2 + ln |3a|+C

F (a) = a^4/12 – 3/2a² + 3 ln |a|+C

F (a) = a^4/12 + 2/3a² - 3 ln |a|+C

F (a) = 12 a^4 + 3/(2a-²) + ln |a|+C

F (a) = a^4 + 3/2a² + 3ln |a|+C

A alternativa correta é a “B”. ••.

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C(q) =10.000 +1.000q + 25q²

C(q) =10.000 + 25q +1.000q²

C(q) =10.000q²

C(q) =10.000 + 25q²

C(q) =10.000q + q² + q³

A alternativa correta é a “ A “.

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1 e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

56,43 bilhões de barris de petróleo

b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

e) Nenhuma das alternativas

A alternativa correta é a “ C

Desafio D

A área sob a curva y = e^(x/2) de x = -3 a x = 2 é dada por:

4,99

3,22

6,88

1,11

2,22

A alternativa correta é a letra “A”

PASSO 3

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).

R: A alternativa correta é a letra “B”, que corresponde ao número