Algebra Linear ATPS Anhanguera

Terceira Etapa

Passo nº 2:

Equação linear

A equação linear é uma equação que envolve apenas somas, subtração ou produtos de variáveis e constantes do primeiro grau.

Para que uma equação seja considerada equação linear deve ser escrita de seguinte forma:

a1x1+a2x2+a3x3+a4x4...+anxn=b

Os elementos a1, a2 a3... são coeficientes das incógnitas (variáveis) x1,x2,x3..., e o termo b é um termo independente (representa o valor numérico da equação linear). O termo b pode ser qualquer valor real; porém se esse for zero a equação linear será homogênea.

Solução de equação linear

A solução para uma equação linear qualquer se trata de um conjunto de números que simultaneamente satisfaze a equação; valores das variáveis que aplicadas transformam essa equação em identidade. Esses valores são chamados de raízes da equação linear.

Exemplo:

Equação: x +5y+2z = 11

Aplica-se o conjunto (1, 2, 0)

1 + (5*2) + (2*0) = 11

1 + 10 + 0 = 11

11 = 11

Essa solução é verdadeira e a raiz da equação linear é (1, 2, 0).

Sistema de equações lineares

O sistema de equação linear ou sistema linear trata-se de um conjunto de equações lineares nas mesmas variáveis. Pode ser descrita da seguinte forma:

{ a11x1 + a12x2... + a1nxn = b1

a21x1+ a22x2 ... + a2nxn = b2

... ... ...

am1x1 + am2x2... + amnxn = BN

Os elementos a11, a12... são coeficientes das incógnitas (variáveis) x1,x2..., e o termo b é um termo independente (representa o valor numérico da equação linear).

Solução de equações lineares

A solução de um sistema de equações lineares trata-se de um conjunto de números/ valores que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema; valores das variáveis que aplicadas transformam essa equação em identidade. Esses valores são chamados de raízes do sistema de equações lineares.

Exemplo:

Equação:

{ 3x + 2y - z = 1

2x - 2y + 4z = -2

-x + 1/2y - z = 0

Aplica-se o conjunto (1, -2, -2)

(3*1) + (2*(-2)) – (-2) = 1

3 – 4 + 2 = 1

1 = 1

(2*1) – (2*(-2)) + (4* (-2)) = -2

2 + 4 – 8 = -2

-2 = -2

-1 + (1/2 * (-2)) – (-2) = 0

-1 – 1 + 2 = 0

0 = 0

Essa solução é verdadeira e a raiz do sistema linear é (1, -2, -2).

Passo nº 3:

Sistema Compatível

Esse tipo de sistema de equações lineares ocorre quando tem solução, ou seja, possui raízes.

Sistema Determinado

É um sistema que ao ser resolvido terá apenas uma única solução, ou seja, apenas um único valor pra as variáveis.

Exemplo:

{ x + y = 5

x - y = 3

Tem como raízes unicamente (4, 1) onde x = 4 e y = 1, esse sistema é compatível e determinado.

Sistema Indeterminado

É um sistema que ao ser resolvido possui várias soluções, e os valores de x e y são diversos.

Exemplo:

{ x + y = 4

0x - 0y = 0

É um sistema compatível e indeterminado, pois possui muitas soluções, seguem algumas: (0, 4); (1, 3); (2 ,2); (3, 1)...

Sistema Incompatível

Trata-se de um sistema que não possui solução.

Exemplo:

{ x + y = 9

x + y = 15

É um sistema incompatível, pois os valores de x e y sendo somados só trazem um único resultado, 9 ou 15 e não os dois ao mesmo tempo, não existe conta igual com resultados diferentes.

Sistema Equivalente

Tem-se um sistema equivalente, quando dois sistemas de equações lineares possuem uma mesma solução.

Exemplo:

{ 3x + 2y = 16

x + y = 7

{ 2x + 1y = 9

6x + 4y = 32

Ambas as soluções são (2 ,5) onde x = 2 e y = 5.

Passo nº 4:

Matriz dos coeficientes das variáveis

È uma matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema linear.

Exemplo:

Sistema linear

{ a11 x1 + a12 x2... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2... + a2n xn = b2

am1x1 + am2 x2... + amn xn = nm

Matriz A dos coeficientes

A= a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

Matriz ampliada de um sistema linear

É uma matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema linear, porém acrescida de uma coluna formada pelos termos independentes.

Exemplo:

Sistema linear

{ a11 x1 + a12 x2...