Aprofundamento Matematica - Volumes

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III

APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA

APOSTILA II – EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO

ALUNO(A): ___________________________________________

AULA 9: Corpos Redondos - GABARITO

1. A superfície de uma esfera pode ser calculada através da fórmula 4..R2, onde R é o raio da esfera. Sabe-se que da superfície do Planeta Terra são cobertos por água e da superfície restante é coberto por desertos. Considere o Planeta Terra esférico, com seu raio de 6400 km e use  igual a 3. A área dos desertos, em milhões de quilômetros quadrados, é igual a:

a) 122,88 b) 81,92 c) 61,44 d) 40,96 e) 20,86

Solução. A área pedida será: .

Temos: .

2. (EFOMM) Constrói-se um depósito, na forma de um sólido V, dentro de uma semiesfera de raio 4m. O depósito é formado por uma semiesfera de raio 1m sobreposta a um cilindro circular, dispostos conforme a figura.

Então a área da superfície total de V, em m2, é igual a:

a) b) c) d) e)

Solução. O raio do cilindro será calculado através do triângulo retângulo indicado de hipotenusa 4m e cateto 3m. A área total será a soma da área da semiesfera de raio 1m, tirado o círculo da base que está sobre o cilindro, com a área total do cilindro.

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3. A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de:

a) 2,0 b) 2,8 c) 3,0 d) 3,8 e) 4,0

Solução. Uma piscina semicircular será um semicilindro. Observando as figuras, temos:

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4. Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba R/6, conforme mostra a figura.

Calcule o raio r da esfera em termos de R.

Solução. A variação do nível da água foi devido ao mergulho da esfera. Logo o volume cilíndrico da água elevada é o volume da esfera.

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5. (EFOMM) Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de 12cm de raio e ângulo central de 120º. Então, a altura do cone é:

a) b) c) d) e)

Solução. O comprimento C no setor é o comprimento da circunferência da base do cone.

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6. Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo acutângulo de área em torno de um eixo que passa pelo lado que tem comprimento

O volume desse sólido é igual a:

a) b) c) d) e)

Solução. Observando a área do triângulo S temos: .

OBS: Por praticidade usamos = L.

Após a rotação foram determinados dois cones de mesma base cujo raio é a altura do triângulo ABC. Isto é, R = h. Considerando x a altura de um dos cones, temos que o volume do sólido será a soma dos volumes dos cones.

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7. Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

Solução. Para que a água não transborde a soma dos volumes das esferas deverá ser menor que o volume a ser ocupado pela água na parte vazia que é um cilindro de altura 1cm e raio da base 5cm. Considerando R, raio da base do cilindro e r, os raios das esferas de aço temos:

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8. Considere um cone circular reto e um cilindro circular reto, ambos com diâmetro da base igual a 12 cm e também uma esfera com diâmetro de 12 cm, todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente iguais a:

a) 12 cm e 4 cm b) 30 cm e 10 cm c) 24 cm e 8 cm d) 9 cm e 3 cm e) 18 cm e 6 cm

Solução. Considere H a altura do cone e h, a altura do cilindro. Escrevendo os volumes e estabelecendo as relações, temos:

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9. Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular ambos, maciços com raio da base r cm e altura também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a:

a) 4 cm b) 8 cm c) 5 cm d) 10 cm