As Derivadas e suas aplicações .

As derivadas e suas aplicações

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.

Taxas de variação ou taxas relacionadas:

 Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taxas relacionadas. Quando duas ou mais variáveis, toda função de t, são relacionadas por uma equação, a relação entre suas taxas de variação pode ser obtida diferenciando a equação em relação a t.

Em problemas com taxas relacionadas, as variáveis têm uma relação específica para os valores de t, onde t é a medida do tempo.

Exemplo:

Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 m³/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m?

Solução:

Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min. Em qualquer instante, o volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone.

REGRAS DE DERIVAÇÃO:

 Em geral, para calcularmos a derivada de uma função, recorremos às chamadas regras de derivação, uma vez que aplicar a definição sempre é um exercício bastante trabalhoso. Essas regras são teoremas, todos já demonstrados por meio da definição. Nesse resumo teórico, estamos deixando de lado essas demonstrações, como informamos na apresentação, porém, o interessado pode encontrá-las nos livros indicados nas referências.

1. Derivada da função constante

 f(x) = K =>  f’(x) = 0

1. Derivada da função identidade

 f(x) = x => f’(x) = 1

Particularmente f(x) = Kx => f’(x) = K

1. Derivada de uma potência

f(x) = xn => f’(x) = n.xn-1

1. Derivada de funções trigonométricas

 f(x) = sen x => f’(x) = cos x

f(x) = cos x => f’(x) = -sen x

 f(x) = tg x => f’(x) = sec²x

f(x) = sec x => f’(x) = sec x. tg x

f(x) = cotg x => f’(x) = –cossec x

f(x) = cossec x => f’(x) = –cossec x. cotg x

1. Derivada da função exponencial

 f(x) = ax => f’(x) = ax . Ln a

f(x) = ex Þ f’(x) = ex

1. Derivada da função logarítmica

f(x) = Loga x => f’(x) = ax . Ln a  

f(x) = Ln x => f’(x) = 1/x

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