Calculo Integral

Integrais

Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida

da função f(x) e é denotada por:

 =  +

Propriedades da Integral Indefinida. Sejam f, g: I —> R e K uma constante. Então:

i.  =  

ii.  +  =   

Método da substituição. Fazendo u = g(x), du =g '(x) dx:

. =
 =  +

Método de Integração por Partes. Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,

.′  = . −
. 

Na pratica, costumamos fazer

u = f(x) du
f ' (x) dx

v = g(x) dv
g '(x) dx

Substituindo em (1), vem:

.  = .  −
. 

que é a formula de integração por partes.

Áreas

Caso I. Calculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas

x = a, x = b e o eixo dos x, onde f e continua e f(x)>0, [a,b].

Neste caso, a área e dada por:

 =






Caso II. Calculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas

x = a, x = b e o eixo dos x, onde f e continua e f(x)≤ 0, [a,b].

E fácil constatar que neste caso basta tomar o modulo da integral  =   

 , ou seja:

 =








Caso III. Calculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e x=

b, onde f e g são funções continuas em [a, b] e f(x) ≥ g(x).

Neste caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores não negativos

para todo x є [a, b]

Então a área e calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico

de g, ou ainda,

 =
 −











=
 − 





Integração de Funções Trigonométricas