Certas integrais

FACULDADE ANHANGUERA DE JOINVILLE – UNIDADE 1

CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA DA PRODUÇÃO – 4ª FASE

CÁLCULO III

CHRISTIAN SCHWABE – RA 4473879752

DOUGLAS SILVA OLIVEIRA – RA 3714659176

GÊNESES RODRIGO TEODORO – RA 3708614323

MARCELO FRANCISCO WOSWIAK – RA 3708616633

STHEF GRAF – RA 3714668124

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

JACKSON SIEDSCHLAG

Joinville - SC

2º Semestre/2013

SUMÁRIO

Introdução 2

Surgimento das integrais 3

Integrais definidas 5

Cálculo da integral definida 10

Propriedades da integral definida 11

Integrais indefinidas 11

Propriedades da integral indefinida 12

Cálculo de área 13

Técnicas de integração 21

Integração por partes 23

Integração por substituição 23

Formas de calcular área 24

Formas de calcular volume 25

Desafios 27

Conclusão 29

Referências bibliográficas 30

INTRODUÇÃO

O presente trabalho irá tratar do surgimento das integrais, das suas classificações sendo elas: integral definida e suas propriedades; integral indefinida e suas propriedades; cálculo de área. E por fim, as técnicas de integração classificadas por: integral por partes; por substituição; formas de calcular área e formas de calcular volume.

Ao final, serão resolvidos quatros desafios sobre o assunto tratado, proposto pelo ATPS.

Surgimento das integrais

Um dos maiores problemas encontrados pelos gregos na antiguidade era o calculo de área, no ano de 430 a.cAntifon, procurou por meio de figuras geométricas explicar a quadratura porem a seqüência não tinha fim, desta idéia surgiu o método de exaustão.

Já no anode 225 a.c, surgiu o teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola, com o passar do tempo, já no século XVI matemáticos trabalhando na área mecânica analisando centro de gravidade contribuiu para a seqüência de evolução do calculo.

Outro matemático que contribuiu para o desenvolvimentos foi Kepler, no seu trabalho relacionado a movimentação dos planetas, ele dividiu a superfície em linhas porem era muito impreciso. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Matemáticos que também contribuíram foram Fermat e Cavalieri para o calculo da integral, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler onde trabalhou em cima das quantidades infinitamente pequenas, onde pensou na área sendo uma soma infinita de partes indivisíveis usando o método que utilizamos hoje.

Torricelli e Barrow consideravam a questão dos movimentos variados, segundo eles a derivada da distância era a velocidade e se realizasse a operação inversa, partindo da velocidade, levaria à distância. Com este problema envolvendo movimento, a idéia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a idéia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora, Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse resultado, foi Newton, entretanto, quem continuando na mesma direção, formulou o teorema.

Dando continuidade a os trabalhos desenvolvidos por Barrow e Galileo, Newton desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Onde ele expôs os métodos das fluxions, derivação e fluents, integração e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em acharfluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.

Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por ‘y.

Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo um 's' longo, para representar summa. Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas, e, portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ".

Em seu estudo Leibniz explanava que a sua maneira de calculo, e os fundamentos eram mais importantes que a de Newton, e acabou por se consolidar, onde os cálculos de Leibniz se mantiveram até a data de hoje sendo utilizados, exatamente a mesma forma.

Os cálculos foram publicados em a1684 e 1686, com o nome de CalcucusSummatorius, porem só ganham o nome de Calculo de Integram em 1690 onde Jacques Bernoulli publicou.

No teorema de calculo de Newton as integrais foram mencionadas como derivadas“reversas”. No mesmo período Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é denominado demétodo das frações parciais. Onde quem escreveu relatando esta obra foi Leonard Euler no seu trabalho sobre integrais.

Após