EXEMPLOS - DETERMINANTES

DETERMINANTES

Prof. Evandro de Sá Escorisa

 

EXEMPLO 1 – Encontrando menores e cofatores

Seja

A=[■(3&1&-4@2&5&6@1&4&8)]

O menor da entrada a11 é

M_11=|■(3&1&-4@2&5&6@1&4&8)|=|■(5&6@4&8)|=16

O cofator a11 é

C_11=(-1)^(1+1) M_11=M_11=16

Analogamente, o menor da entrada a32 é

M_32=|■(3&1&-4@2&5&6@1&4&8)|=|■(3&-4@2&6)|=16

O cofator de a32 é

C_11=(-1)^(3+2) M_32=-M_32=-26

EXEMPLO 2 – Expansão em cofatores de uma matriz 2  2

Considerando a matriz

A=[■(a_11&a_12@a_21&a_22 )]

Tem-se que

C11 = M11 = a22

C12 = – M12 = – a21

C21 = – M21 = – a12

C22 = M22 = a11

De tal forma que

det(A)=|■(a_11&a_12@a_21&a_22 )|

=a_11 C_11+a_12 C_12 (expansão em cofatores da primeira linha)

=a_21 C_21+a_22 C_22 (expansão em cofatores da segunda linha)

=a_11 C_11+a_21 C_21 (expansão em cofatores da primeira coluna)

=a_12 C_12+a_22 C_22 (expansão em cofatores da segunda coluna)

Cada uma das quatro últimas equações é denominada expansão em cofatores do det(A). Em cada expansão de cofatores, todas as entradas e os cofatores vêm da mesma linha ou coluna de A.

EXEMPLO 3 - Expansão em cofatores ao longo da primeira linha

Seja a matriz

A=[■(3&1&0@-2&-4&3@5&4&-2)]

Expandindo em cofatores ao longo da primeira linha

det(A)=|■(3&1&0@-2&-4&3@5&4&-2)|

=(-1)^(1+1)∙3|■(-4&3@4&-2)|+(-1)^(1+2)∙1|■(-2&3@5&-2)|+(-1)^(1+3)∙0|■(-2&-4@5&4)|

=3|■(-4&3@4&-2)|-1|■(-2&3@5&-2)|+0

=3(-4)-1(-11)+0=-1

EXEMPLO 4 – Expansão em cofatores ao longo da primeira coluna

Considerando a mesma matriz do Exemplo 3

A=[■(3&1&0@-2&-4&3@5&4&-2)]

Expandindo em cofatores ao longo da primeira coluna

det(A)=|■(3&1&0@-2&-4&3@5&4&-2)|

=(-1)^(1+1)∙3|■(-4&3@4&-2)|+(-1)^(2+1)∙-2|■(1&0@4&-2)|+(-1)^(3+1)∙5|■(1&0@-4&3)|

=3(-4)-2(-2)+5(3)=-1

O resultado obtido é o mesmo do Exemplo 3.

EXEMPLO 5 – Escolha esperta de linha ou coluna

Se A for a matriz 4  4

A=[■(■(1&0@3&1)&■(0&-1@2&2)@■(1&0@2&0)&■(-2&1@0&1))]

Então, a maneira mais fácil de calcular det(A) é expandir em cofatores ao longo da segunda coluna, que é a que tem mais zeros.

det(A)=1∙|■(1&0&-1@1&-2&1@2&0&1)|

Para o determinante 3  3, a maneira mais fácil é usar expansão em cofatores ao longo de sua segunda coluna, que é a que tem mais zeros.

det(A)=1∙(-2)∙|■(1&-1@2&1)|

=1∙(-2)∙(1+2)=-6

EXEMPLO 6 – Determinante de uma matriz triangular inferior

Considere a matriz 4  4

A=[■(■(a_11&0@a_21&a_22 )&■(0&0@0&0)@■(a_31&a_32@a_41&a_42 )&■(a_33&0@a_43&a_44 ))]

Realizando a expansão em cofatores ao longo da primeira linha.

det(A)=a_11∙|■(a_22&0&0@a_32&a_33&a_34@a_42&a_43&a_44 )|

Para o determinante 3  3, realiza-se a expansão em cofatores ao longo da primeira linha.

det(A)=a_11∙a_22∙|■(a_33&0@a_43&a_44 )|=a_11∙a_22∙a_33∙a_44

Portanto, o determinante é o produto das entradas na diagonal principal da matriz.

EXEMPLO 7

Seja A uma matriz 3  3

A=[■(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )]

Se a primeira linha de A é multiplicada por k, o determinante da nova matriz é determinado por:

det⁡(B)=|■(〖ka〗_11&ka_12&ka_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33