Determinantes

CURSO: ENGENHARIA CIVIL PERÍODO: 2012/1

DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINERA E GEOMETRIA ANALÍTICA

APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

------ ESTUDO DE MATRIZES E DETERMINANTES -------

PROFESSOR: JOSÉ APARECIDO DA SILVA FERNANDES (ZEQUINHA)

Capítulo 1 - Matrizes

1.1 Definição

As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.

Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m)

Ricardo 70 23 1,70

José 60 42 1,60

João 55 21 1,65

Pedro 50 18 1,72

Augusto 66 30 1,68

O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.

ou

Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes.

Exemplos:

: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)

: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)

: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)

1.2 Representação Algébrica

Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:

Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)m x n

aij = i – linha

j – coluna

a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito)

(na tabela significa a idade de Pedro 18)

Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.

Resolução: A representação genérica da matriz é:

1.3 Matriz Quadrada

Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada.

Exemplo:

é uma matriz quadrada de ordem 2

Observações:

1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula.

2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária.

Resolva:

1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que

Resp.:

2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por

Resp.:

3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por

Resp.:

1.4 Matriz unidade ou matriz identidade

A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por In.

Exemplo:

1.5 Matriz tranposta

Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.

Exemplo: a sua transposta é

1.6 Igualdade de Matrizes

Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.

Exemplo: Dadas as matrizes , calcular x e y para que A =B.

Resolução:

Resolva:

1) Determine x e y, sabendo que

Resp: x = 5 e y = -1

2) Determine a, b, x e y, sabendo que

Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5

3) Dada as matrizes , calcule x, y e z para que B = At.

Resp: x = , y = 8 e z = 2

4) Sejam calcule a, b e c para que A=B.

Resp: a = - 3 , b = c = - 4

1.7 Operações com matrizes

Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes.

Exemplo:

Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz – A cujos