Equação De Euler

Equação eqüidimensional de Euler (ou de Cauchy) é uma equação diferencial ordinária linear (EDOL) da forma

anxn y(n) + an-1 xn-1 y(n-1) + ... + a1 x y' + ao y = g(x)

onde n é um número natural que fornece a ordem da equação se an é não nulo e os ak são números reais (k=0,1,2,...,n)

Na sequência trataremos apenas das EDOL de Euler que são homogêneas. Para resolver as EDOL de Euler não homogêneas, deve-se usar o método da variação dos parâmetros.

Solução da equação homogênea de Euler: Para resolver esta equação, procuraremos obter números reais ou complexos r de tal forma que y(x)=xr, seja solução da EDOL dada, para cada r possível.

Desta forma obteremos n soluções LI que resolvem a EDOL homogênea associada à equação dada. Sob esta hipótese, temos que:

y' = r xr-1, e y'' = r(r-1) xr-2

e em geral

y(k) = A(r,k) xr-k

sendo que A(r,k)=r(r-1)(r-2)...(r-k+1) é a expressão do arranjo de r elementos com a taxa k.

Para facilitar inicialmente os nossos trabalhos, vamos considerar o caso geral de uma EDOL não homogênea de Euler de ordem n=2, isto é:

a x² y'' + b x y' + ... + c y = g(x)

A equação homogênea associada aqui é a.x²y''+b.xy'+cy=0 e substituindo tanto a função y=y(x) como as suas derivadas obtemos:

xr (a r(r-1) + b r + c) = 0

Como procuramos soluções que sejam LI, devemos ter que

a r(r-1) + b r + c = 0

que simplificada, nos fornece a equação indicial da EDOL de Euler:

a r² + (b-a) r + c = 0

Como esta equação indicial é do segundo grau, temos três possibilidades: duas raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais e duas raízes complexas conjugadas. Realizaremos agora uma análise desse casos:

(1) Duas raízes reais e distintas r e s: Neste caso: y1(x)=xr e y2(x)=xs, logo a solução da homogênea será:

y(x) = C1xr + C2xs

Exemplo: Seja a EDOL de Euler L(y)=x²y''-2xy'+2y=0. A equação indicial associada é r²-3r+2=0 cujas raízes são r=1 e r=2, logo a solução geral é:

y(x) = C1 x + C2 x²

(2) Duas raízes reais e iguais a r: Aqui y1(x)=xr e a segunda função é dada pela multiplicação de xr por ln(x), isto é:

y2(x) = xrln(x)

logo a solução da homogênea será:

y(x) = C1xr + C2xrln(x)

Exemplo: Seja a EDOL de Euler L(y)=x²y''-3xy'+4y=0. Quando tomamos y(x)=xr, então:

L(xr) = (r² - 4r + 4) xr

Assim a equação indicial associada é r²-4r+4=(r-2)²=0, que tem uma raíz dupla r=2, logo uma solução é:

y1(x) = x²

Para obter uma segunda solução da forma:

y2(x) = ln(x) y1(x) = x² ln(x)

vamos retomar a expressão já obtida anteriormente e realizar um detalhamento para justificar esta multiplicação por ln(x).

Como:

L(xr) = (r-2)²xr

então, aplicando o operador diferencial em relação a variável r, aqui denotado por Ðr, teremos:

Ðr L(xr) = Ðr[(r-2)² xr]

Como os operadores diferenciais Ðr e L comutam, então podemos reescrever esta última expressão como:

L(Ðr (xr)) = Ðr[(r-2)² xr]

Como estamos fazendo a derivada em relação à variável r, nosso trabalho será um pouco maior e neste caso:

Ðr (xr) = Ðr [erln(x)] = ln(x) Dr[erln(x)] = ln(x) xr

o que garante que

L[ ln(x) xr] = 2(r-2)xr + (r-2)² ln(x) xr

Neste caso sabemos que o autovalor é r=2 e faremos r=2 na última expressão para obter:

L[ ln(x) x²] = 0

Como o operador L aplicado a esta função fornece um resultado