Equações diferenciais. Aplicações e modelagem

ENGENHARIA MECÂNICA

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES

ETAPA 1 – ATPS – EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS E SÉRIES

Aulas-tema: Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem.

Passo 1

Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Passo 2

A integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Método de conjecturar e verificar. Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são úteis na inversão da regra da cadeia.

Método por substituição

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar dw= (dw/dx)dx.

Método por partes

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito dediferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto

Passo 3

Na disciplina de Análise Matemática, logo ao início de certos cursos de licenciatura, é usual tratar, entre outros temas, o das equações diferenciais, sejam ordinárias ou às derivadas parciais. No caso das primeiras, reveste-se de especial importância o das equações diferenciais lineares, de coeficientes constantes, pela multiplicidade de circunstâncias em que podem surgir em domínios diversos. De resto, são vários os fenômenos que se estudam pelo recurso a este tipo de equações. Nestas circunstâncias, apresenta-se aqui um repositório de equações deste tipo, cobrindo as diversas situações que podem ocorrer na prática, com o qual se pretende colocar à disposição dos estudiosos interessados um auxiliar de trabalho que possa mostrar-se útil.

Pretende achar-se a solução geral da equação:

y - 3y+2y=0

Trata-se de uma equação diferencial ordinária, linear, de coeficientes constantes, homogênea e de segunda ordem. A respectiva equação característica é:

m² - 3m+2=0

Cujas soluções são:

m=2 V m=1

Passo 4

Circuitos elétricos são formados por componentes lineares passivos: resistores de resistência R(ohm) indutores de indutância L(Henry), capacitores de capacitância C(farad) e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada pela letra v(t)

Para modelar um sistema elétrico precisarão conhecer os seus componentes elétricos passivos.

Relação elementar de voltagem:

Resistor (Lei de Ohm)

eA – eB = R iR

Indutor eA – eB = L Capacitor eA –eB = L: Indutância, R: Resistência, C: Capacitância

A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Lei dos Nós e/ou a Lei das Malhas

ETAPA 2 – ATPS – EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS E SÉRIES

Aulas-tema: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior.

Passo 1

Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado. Por exemplo: (Filtros RC, Fontes DC). Identificar os elementos desse circuito e determinar a função de cada elemento no referido circuito.

Resposta: CIRCUITO RC EM SÉRIE

Figura 1: Circuito Elétrico RC

Resistor: É o dispositivo que em um circuito elétrico tem apenas a função de oferecer resistência à passagem da corrente elétrica.

Representado por:

Capacitor: Capacitores são componentes que têm por função armazenar energia elétrica

Figura 2: Modelo de capacitor

Considere um circuito RC em série, onde o capacitor, no qual a corrente varia com o tempo, está inicialmente descarregado e que a corrente não flui quando