Espaço Vetorial

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:

Quaisquer que sejam u,v,wemV:

(u+v)+w = u+(v+w)

Existe öemV (elemento nulo) tal que para todo vemV:

ö + v = v

Para cada vemV, existe –vemV (elemento oposto) tal que

v+(–v)=ö

Quaisquer que sejam u,vemV, segue que

u+v=v+u

Para todo escalar kemK e quaisquer v,wemV:

k.(v+w) = k.v + k.w

Para quaisquer k,memK e todo vemV:

(k+m).v = k.v + m.v

Para quaisquer k,memK e qualquer vemV:

(km).v = k(m.v)

Para qualquer vemV tem-se que

1.v = v

Propriedades em um espaço vetorial

Se V=(V,+,.) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:

Para todo kemK segue que k.ö=ö.

O vetor nulo ö é único.

Para todo vemV tem-se que 0.v=ö.

Para cada vemV o vetor oposto –vemV é único.

Seja kemK e vemV. Se k.v=ö então k=0 ou v=ö.

Se v+u=v+w para u,v,wemV, então u=w.

Quaisquer que sejam v,wemV, existe um único uemV tal que v+u=w.

Para todo kemK e para todo vemV segue que:

(–k).v = –(k.v) = k.(–v)

Para todo kemK e para todo vemV segue que

(–k)(–v) = kv

Se k1,k2,…,knemK e vemV, então:

(k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv

Se kemK e v1,v2,…,vnemV, então:

k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn

Exemplos de espaços vetoriais

Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K com as operações usuais de adição e multiplicação de K.

O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o corpo Q dos números racionais com as operações de adição e multiplicação de R.

O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial sobre o corpo R dos números reais com as operações de adição e multiplicação de C.

R²={(x,y): xemR, yemR} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:

(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)

k(x,y)=(kx,ky)

Rn={(x1,x2,…,xn): xiemR, i=1,2,…,n} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar definidas por:

(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn)

k.(x1,x2,…,xn)=(kx1,kx2,…,kxn)

O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

O conjunto Mm×n(K) das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

O conjunto Mm×1(K) dos vetores-linhas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

O conjunto M1×n(K) dos vetores-colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.

O conjunto F(R)={f:RsetaR} das funções reais cujo domínio é o conjunto dos números reais é um espaço vetorial sobre R.

O conjunto P[K] de todas as funções polinomiais da forma:

p(x) = a0 + a1 x + a2 x² +…+ an xn

onde aiemK (i=0,1,2,…,n) é um espaço vetorial sobre o corpo K.

O conjunto F([a,b],R)={f:[a,b]setaR} das funções reais cujo domínio é o intervalo fechado [a,b] é um espaço vetorial sobre R.

Subespaço Vetorial

Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um corpo K e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever (S,+,.) para um subespaço.

Para mostrar que (S,+,.) é um subespaço vetorial, podemos mostrar que esta estrutura possui as oito propriedades de espaço vetorial V ou usar uma das duas caracterizações seguintes:

Caracterização de subespaço vetorial

Teorema I: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:

S é não vazio.

Se v,wemS, então v+wemS.

Se kemK e vemS, então k.vemS.

Teorema II: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:

O vetor nulo de V pertence ao conjunto S.

Se v,wemS e p, qemK, então p.v + q.wemS.

Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.

Exemplos de subespaços vetoriais

O conjunto nulo S={ö} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.

O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais.

O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos.

Toda