Incerteza integral

12 Integral Indefinida

Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a

própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida,

pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo a

velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento

qualquer; conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços, e assim por diante.

O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou

integração indefinida.

Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f

é chamada de primitiva ou antiderivada de f.

Exemplos:

1) 5 2

3

( )

3

= + x +

x

F x é uma primitiva de ( ) 5

2

f x = x + , pois F ’(x) = x

2

+ 5.

2) F(x) = ln(x) + cos(x) − 7 , x > 0, é uma primitiva de ( )

1

( ) sen x

x

f x = − , pois

( )

1

´( ) sen x

x

F x = − .

Observação: A primitiva não é única. De fato, a função 5 ( )

2

f x = x + , por exemplo, poderia ter

5 5

3

( )

3

= + x +

x

F x , 5 1

3

( )

3

= + x −

x

F x ou x C

x

F x = + 5 +

3

( )

3

, onde C é uma constante qualquer,

como primitiva. O mesmo se aplica para a função do exemplo 2). Portanto, temos a seguinte

propriedade para primitivas:

Propriedade: Se F é uma primitiva