Integral

1)Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 4+5t²/³ habitantes por mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população daqui a 8 meses?

Solução: Seja p(t) a população da cidade no tempo t (medido em meses). A taxa de variação de uma função é dada pela sua derivada. Assim, temos p´(t) = 4 + 5t²/³ e, portanto, p (t) = ∫ ( 4 + 5t²/³). dt = 4t + 3t + C. Como p(0) = 10.000, substituindo na equação, encontramos C = 10.000. Logo, a função que representa a população num instante t qualquer é dada por p(t) = 4t + 3t + 10.000 e, conseqüentemente, daqui a 8 meses a população será de p(8) = 4 × 8 + 3 × 32 +10.000 = 10.128 habitantes.

7) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t) = 1 + 4t + 3t² m/min. Que distância o corpo percorre no terceiro minuto?

Solução: Seja s(t) a posição do corpo no tempo t. Como a velocidade é dada pela derivada da função posição, segue que s´(t) = v(t), ou seja, s(t) = ∫ v(t) dt ou s(t) = t + 2t² + t³ + C. A distância que o corpo percorre no terceiro minuto é dada por s(3) – s(2) = 3 +18 + 27 + C – 2 – 8 – 8 – C = 30.

Portanto, o corpo percorre 30 metros no terceiro minuto.

8) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de monóxido de carbono no ar estará aumentando á razão de 0,1t + 0,1 partes por milhão por ano. Se o índice atual de monóxido de carbono no ar é de 3,4 partes por milhão, qual será o índice daqui a 3 anos?

Solução: Seja i(t) o índice de monóxido de carbono no ar no tempo t. Então, i´(t) = 0,1t + 0,1, ou i(t) = 0,1 t² / 2 + 0,1t + C. Como i(0) = 3,4, segue que C = 3,4, ou seja, o índice de monóxido de carbono no ar em um tempo t qualquer é dado por i(t) = 0,1 t² /2 + 0,1t + 3,4. Em particular, quando t = 3, tem-se um índice de i(3) = 4,15 partes por milhão.