Integral

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. É o resultado de um trabalho coletivo, que envolveu muitos personagens, durante um longo período de tempo, mas, em particular, tem grande embasamento nas contribuições de Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na Matemática, Química, Física Clássica, Física Moderna, Economia, dentre outras áreas. O estudante de Cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da Matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O Cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas fundamentais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais.

1. Introdução

A integral representa um dos conceitos mais importantes da Matemática. Ela segue duas linhas com interpretações distintas: trata-se de um procedimento inverso à diferenciação e é um método eficaz no cálculo de áreas sob uma curva.

Inicialmente trataremos da integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação, e suas técnicas operatórias. Em seguida, veremos a integral definida – que é a integral propriamente dita – e sua relação com o problema de determinar a área de uma figura plana, depois o Teorema Fundamental do Cálculo, que é peça chave de todo Cálculo Diferencial e Integral, pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração. Finalmente, estenderemos o conceito de integral para funções contínuas por partes e abordaremos as integrais impróprias.

2. Integral Indefinida

2.1. Definição 1:

Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I

(ou simplesmente uma primitiva de f(x)), se, para todo x  I, temos F´(x) = f(x).

Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I.

Exemplos:

a) F(x) = é uma primitiva da função = x2, pois F´(x) = .

b) As funções G(x) = , H(x) = também são primitivas da função = x2, pois G´(x) = H´(x) = .

c) A função F(x) = , onde c é uma constante, é primitiva da função .

d) A função F(x) = é uma primitiva da função f(x) = em qualquer intervalo que não contém a origem, pois, para todo x  0, temos F´(x) = f(x).

Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais de uma primitiva. Temos, então, os seguintes teoremas associados.

2.2. Teoremas

Teorema 1: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x).

Demonstração: Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F´(x) = f(x).

Assim: G´(x) = (F(x) + c)´ = F´(x) + 0 = f(x), o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x).

Teorema 2: Se f´(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I.

Demonstração: Sejam x,