Integral De Rieman

INTEGRAL DE RIEMANN

I – O CALCULO DE ÁREAS

O estudo do cálculo integral começa com os gregos a mais de 2 mil anos atrás. Um dos problemas que eles trataram era calcular áreas de regiões planas.

As áreas de retângulos e de triângulos eram conhecidas, e portanto de regiões poligonais.

A primeira vez que se calculou a área de um circulo foi feito por aproximação, isto é, se aproximava o circulo por polígonos regulares, e o valor da área do polígono era uma aproximação da área do circulo.

Estas aproximações podem ser por excesso ou por defecto (falta), como se mostra nas figuras.

Observe que a medida que os polígonos inscritos ou circunscritos possuem um número maior de lados, a área do polígono é cada vez mais próxima a área do círculo.

No caso dos polígonos inscritos a área sombreada corresponde ao valor da área que é necessário aumentar para que a área do polígono seja igual a área do círculo.

Como os polígonos regulares podem ser subdivididos em triângulos isósceles, podemos então calcular a área dele e multiplicar pelo número de triângulos obtidos na subdivisão do polígono, obtendo assim a área de um círculo como soma das áreas dos triângulos.

De igual maneira a definição da integral definida está motivada pelo cálculo de áreas limitadas por curvas.

A idéia é aproximar a área de uma curva através de áreas de retângulos. Assim obtemos as chamadas somas de Riemann.

As somas estão de Riemann se dão como soma superiores e inferiores.

Chamamos somas inferiores quando os retângulos estão por debaixo (dentro da região.

Chamamos de somas superiores quando os retângulos estão por cima, ou seja, quando se aproxima por excesso a área da região.

SOMAS SUPERIORES

SOMAS INFERIORES

Do ponto de vista geométrico, a medida que aproximamos as áreas por retângulos de amplitudes cada vez menores, teremos que a soma das área dos retângulos aproximam cada vez mais da curva y=f(x) no intervalo [a,b].

Denotando por Δxi a base de cada retângulo, claramente Δxi =xi+1 - xi.

A medida em que aumentamos o número de pontos xi no intervalo [a,b] a soma das áreas dos retângulos se aproxima cada vez mais a área da curva.

Sendo Sn a soma das áreas dos n retângulos inseridos no intervalo [a,b], temos:

Mas como:

Logo vemos a integral de Riemann como o princípio da resolução