Integral Indefinido

Etapa 1

Passo 1

No cálculo a integral foi criada para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano, e também surge em alguns problemas de Física, como na velocidade instantânea e para determinar a posição em todos os instantes de um objeto.

Integral Indefinida, definida e área.

Uma integral definida como ∫ab f(x) dx é chamada de integral definida de f. Uma função f, tal que F’(x) = f(x) é uma primitiva de f(x), assim como F(x) + C, onde C é uma constante real qualquer. À medida que variamos C, obtemos o conjunto de todas as primitivas de f. Podemos representar esse conjunto por ∫f(x) dx = F(x) + C.

A integral que aparece nesta expressão é chamada integral indefinida de f e é usada para especificar a primitiva mais geral de f. Assim ∫ f(x) dx = F(x) + C se e somente se F’(x) = f(x).

A constante C é chamada constante de integração. Para cada valor de C temos uma primitiva de f.

Em geral, não se explicita o domínio F. supõe-se sempre escolhido um intervalo em que f seja integrável.

Se f é uma função de x então a sua integral definida é uma integral restrita à valores em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b. O resultado é um número que depende apenas de a e a, e não de x.

Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. Suponha que este intervalo seja dividido em n partes iguais de largura ∆x = (b − a )/n e seja xj um número pertencente ao intervalo, para j = 1, 2, .., n. Neste caso, a integral definida de f em [a,b].

A ideia básica é:

Dividir o intervalo [a,b] em n em subintervalos iguais, e construir um retângulo cuja altura é o valor de f em algum ponto do subintervalo.

A união desses retângulos forma uma região Rn.

Repetir o processo usando cada vez mais um número maior de subdivisões.

Definir a área de R como sendo o limite das áreas das regiões aproximadas de Rn, isto é A = área R = lim(n->∞) [área (Rn)].

Passo 2

Desafio A:

∫a3/3 + ∫3/ a3 + ∫3/a => ∫ a3/3 + ∫3a-3 ∫3a-1

a4/12 + 3a-2/-2 +3ln │a│ + C => a4/12 -3/2a2 + 3ln │a│ + C

Resposta correta: B

Desafio B:

C’ = 1000+50q => C = ∫1000 + ∫50q

1000q + 50q2/2 => 10000 + 1000q + 25q2 + C

Resposta correta: A

Desafio C:

C(t) = 16,1e0,07t

C(2) = 16,1e0,07(2) => C(2) = 18,52 C(4) = 16,1e0,07(4) => C(4) = 21,30

C(2) + C(4) = 18,52 + 21,30 = 39,82 milhões

Resposta correta: C

Desafio D:

A área sob a curva y = ex/2 de x = -3ª x = 2 é dada por:

-32ex2dx

u=x2

Du=ddxx.2-x.ddx222=24dx=

Du=12dx

2du=dx

-32eu2.du

2-32eudu = 2.ex22 – 3 = 2.e22-2.e-32 = 5,43-0,44 = 4,99

Resposta correta: A

Passo 3

Desafio A: B = 3

Desafio B: A = 0

Desafio C: C = 1

Desafio D: A = 9

3019

Passo 4

Para a realização desta etapa foram utilizados os conceito de integração definida, indefinida e de área.

A seqüência proposta e encontrada ficou 3019.

Etapa 2

Passo 1

Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis u = g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo du = g’(x)dx.

∫ (u) du

Por exemplo:

∫(5 + x2)4dx => pode ser substituído por ∫u4 dx

U5/10 + C = (5 + x2)5/10 + C

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C1 no intervalo x E [a,b], ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.

Onde se usa: ∫ udv = uv - ∫vdu

Passo 2

I) ∫(3 - t)*(t2 - 6t)4dt

∫(t2-6t)4(3 - t) dt/2 => (t2-6t)5/5 dt/2

(t2-6t)5/10 + C

II) ∫50 t/(t+4)1/2

u-1/2 => u1/2/1/2 => 2u1/2

2(t+4)1/2 + C 2(5+4)1/2 - 2(0+4)1/2 = 6 – 4 = 2

Passo 3

Resposta correta: D

D