Logaritmos

INTRODUÇÃO

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para rea¬lizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvol-vimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele.

Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como prostaférese, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia.

O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica.

b, b2, b3, b4, b5,…, bn, …

Os termos da progressão aritmética

1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...

Então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm. bp, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,

PA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

PG 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16394

Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:

• 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;

• 32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;

• como 8+5=13,

• 13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.

Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma simples operação de adição.

A fim de que os números da progressão geométrica estivessem bem próximos, para ser possível usar interpolação e preencher as lacunas entre os termos na correspondência estabelecida, evitando erros muito grosseiros, Napier escolheu para razão o número 0, 9999999, que é bem próximo de 1. Segundo Eves, para evitar decimais, ele multiplicava cada potência.

por . Então, se , ele chamava L de "logaritmo" do número N.

Assim, o logaritmo de Napier de é 0 e o de é 1.

Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 107.b e a razão b, ao que parece de forma independente, Burgi também lidava com o problema dos logaritmos.

Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1 qual seja 1,0001=1+10-4. O primeiro termo de sua PG era 108 e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos.

Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas aproximações.

Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.

Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.

Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.

A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que a variação exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática.

Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:

Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um papel fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no contexto da moderna tecnologia.

Definição, propriedades e exemplos resolvidos.

Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação:

logab = x, onde:

a = base do logaritmo

b = logaritmando

x = logaritmo

O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma:

logab = x ↔ ax = b

Exemplos:

log39 ↔ 32 = 9

log10100 ↔ 102 = 100

log216 ↔ 24 = 16

log981 ↔ 92 = 81

A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja:

O