Matematica

ETAPA I

O plano cartesiano utilizado no desafio proposto simula a trajetória realizada por um braço de robô saindo da origem O e passando pelos pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo:

[pic]

Para determinar as coordenadas dos pontos A, B e C, foram realizados os seguintes cálculos:

• No ponto A:

[pic]

A trajetória realizado pelo braço do robô da origem ao ponto A, gerou o triângulo retângulo acima, para calcular o X e o Y da imagem é necessário saber o Seno e o Cosseno de 35º.

Seno de 35º: 0.5736

Cosseno de 35º: 0.8192

X na imagem equivale ao cateto adjacente.

Y equivale ao cateto oposto.

A hipotenusa é igual a 4.

Portanto, a fórmula para descobrir o seno e cosseno é a seguinte:

[pic]

[pic] Y [pic] 2.3

[pic]

0,8 = [pic] X [pic] 3.2

As coordenadas do ponto A são: (3.2, 2.3, 0)

Forma Canônica: [pic]+ [pic]

• No ponto B:

[pic]

O ângulo dado medido a partir do semi-eixo positivo X foi 115º, como o ponto B está no semi-eixo negativo de X, se faz necessário subtrair 115º - 90º que aí sim fica 25º, como aparece na figura.

Seno de 25º: 0.4226

Cosseno de 25º: 0.9063

X na imagem equivale ao cateto oposto.

Y equivale ao cateto adjacente.

A hipotenusa é igual a 6.

Para calcular o X e Y no ponto B, utiliza o mesmo procedimento utilizado no ponto A, agora só mudou o valor do ângulo.

[pic]

[pic] X[pic]2.5

[pic]

[pic] Y [pic]5.4

As coordenadas do ponto B são: (2.5, 5.4, 0)

Forma Canônica: [pic] + [pic]

• No ponto C:

[pic]

O ângulo dado medido a partir do semi-eixo positivo X foi 145º, como o ponto C está no semi-eixo negativo de X, se faz necessário subtrair 145º - 90º restando 55º, desse valor vê o que falta para 90º que representa o semi-eixo negativo, 90º - 55º é igual a 35º, que é o valor que aparece na figura.

Seno de 35º: 0.5736

Cosseno de 35º: 0.8192

X na imagem equivale ao cateto adjacente.

Y equivale ao cateto oposto.

A hipotenusa é igual a 7.

Para calcular o X e Y ponto B, utiliza o mesmo procedimento utilizado no ponto A.

[pic]

[pic] Y [pic] 4

[pic]

0,8 = [pic] X [pic] 5.6

As coordenadas do ponto C são: (5.6, 4, 0)

Forma Canônica: [pic] + [pic]

ETAPA II

Para calcular a distância total percorrida pela tocha de soldagem será necessário calcular o teorema de Pitágoras dos dois triângulos retângulos OAB e OBC e fazer a soma dos lados do quadrilátero.

[pic]

Triângulo OAB

[pic]

X2 = 42 + 62

X2 = 16 + 36

X = [pic]

X = 7.21 ou [pic]7

Triângulo OBC

[pic]

72 = X2 + 62

X2 = 49 – 36

X = [pic]

X = 3.6 ou [pic]4

Após descobrir os valores de X nos triângulos, basta somar todos os lados do quadrilátero OABC, para saber o total da distância percorrida.

D = OA + AB + BC + CO

D = 4 + 7.21 + 3.6 + 7

D = 21.81 ou [pic]22

Área do Quadrilátero

Para calcular a área do quadrilátero OABC será necessário dividi-lo em dois triângulos retângulos (ABC e OAC) e somar o resultado da área dos dois triângulos para obter o resultado da área do quadrilátero, para calcular a área de um triângulo é necessário utilizar a seguinte fórmula:

ABC = [pic]

Primeiramente precisa saber as coordenadas do vetor [pic] e do vetor [pic] subtraindo as coordenadas do ponto B com as do ponto A, e subtraindo as coordenadas do ponto C com as do ponto A.

Ponto B = (2.5, 5.4, 0)

Ponto A = (3.2, 2.3, 0)

[pic] = (2.5 – 3.2 , 5.4 – 2.3, 0 – 0)

[pic] = (-0.7, 3.1, 0)

Ponto C = (5.6, 4, 0)

Ponto A = (3.2, 2.3, 0)

[pic] = (5.6 – 3.2, 4 – 2.3, 0 – 0)

[pic] = (2.4, 1.7, 0)

Os vetores tem como forma canônica: [pic] + [pic] + [pic]

[pic]

Então para calcular essa multiplicação de vetores faz-se o seguinte:

[pic] , depois de ter inserido os valores se repete as duas primeiras colunas.

[pic] [pic]

Agora multiplica os valores das três primeiras colunas diagonalmente e soma com a multiplicação negativa das três últimas colunas diagonalmente.

i x 3.1 x 0 = 0

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