Matematica

1) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?

Solução. Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: S = (V – 2).360º

Utilizando a relação de Euler A + 2 = F + V e, substituindo pelos valores , calculamos o número de vértices.

Considerando “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de faces pentagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.

Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais.

2) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um:

a) tetraedro b) hexaedro c) octaedro d) dodecaedro e) icosaedro

Solução. Em cada caso utiliza-se a fórmula S: (V – 2).360º

a) tetraedro possui 4 vértices. Logo, .

b) hexaedro possui 8 vértices. Logo, .

c) octaedro possui 6 vértices. Logo, .

d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, .

e) icosaedro possui 12 vértices. Logo, .

3) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

Solução. Problema semelhante ao número (1).

i) ii)

ii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.

iii) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais.

4) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo que é 2/3 do número de arestas?

Solução. Calculando o número de vértices, temos: . Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. Substituindo pelas informações, vem:

. Logo, F = 4.

5) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.

Solução. Problema semelhante ao número (3).

i) ii)

iii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces quadrangulares forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.

Logo possui 6 faces triangulares e 3 quadrangulares.

6) Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta.

Solução. O poliedro em questão é o dodecaedro. Repare que nas 3 faces retiradas, na verdade, só são suprimidos 1 vértice e as três arestas internas. A superfície poliédrica restante ainda possui os limites com “novas” arestas.

i) O número inicial de faces é 12. O final será 12 – 3 = 9.

ii) O número inicial de arestas é dado por: . O final será 30 – 3 = 27.

ii) O número inicial de vértices é: . O final será 20 – 1 = 19.

7) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos?

Solução. O nº de faces é F = 12 + 20 = 32 faces. Logo o número arestas será . O número de vértices é dado por . Logo há 60 átomos ligados entre si por 90 arestas (ligações).

8) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

Solução. O número total de faces do poliedro é F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7. Calculando o número de arestas em função das