Matematica Aplicda

Etapa 2 Passo 2

A FUNÇÃO DERIVADA

É muito trabalhoso ficarmos determinando as derivadas em cada ponto de uma função. O que fazemos normalmente é determinar uma expressão geral que permita o cálculo da derivada em qualquer pondo desejado (se ela existir, é claro). A expressão determinada é denominada de função derivada (f´(x)) e, para isso, podemos determinar fórmulas que facilitem a descoberta da função derivada, sem precisar recorrer ao limite que define a taxa de variação instantânea.

Vejamos um exemplo: Qual a derivada da função f(x) = 4 x2 ?

Solução:

f´(x) = h f(x h) -f(x)

Vejamos o valor de f(x + h) = 4 . (x + h)2 = 4 . (x2 + 2xh + h2 ) = 4 x 2 + 8xh + 4h2

Crescimento de uma Função

Máximos e Mínimos:

Uma das grandes utilidades práticas das funções derivadas é permitir que possamos saber os intervalos do domínio onde uma função é crescente, decrescente ou mesmo constante. Pelo que mostramos nas taxas de variação, quando uma função for crescente, sua derivada será POSITIVA no intervalo, quando for decrescente, a derivada será NEGATIVA.

Máximos e Mínimos Locais

Para uma função f(x), dizemos que ponto c é de máximo local, se o valor f© for o maior valor que a função assume para x numa vizinhança de c.

Para uma função f(x), dizemos que o ponto de mínimo local (ou mínimo relativo) se o valor f(c) for menor que a função assume para x numa vizinhança de c.

Ainda existe o máximo e mínimo globais onde para uma função f(x) dizemos que o ponto de máximo global se o valor f(c) for maior valor que a função assume para todo x do domínio da função.

Pontos onde a Derivada não Existe

Para um estudo mais completo de pontos máximos e mínimo e pontos críticos, é interessante notar situações onde a derivada não existe – em outras palavras, funções que apresentam em seu domínio pontos onde a função não é derivável.

Derivadas e crescimento (Decrescimento de uma Função)

Uma propriedade muito importante que utilizamos para a análise das funções e construção de seus gráficos relaciona o sinal de derivada de uma função e o comportamento de tal função em um intervalo. Sabemos que a derivada em um ponto da a taxa de variação da função no ponto, bem como a inclinação da reta tangente no ponto.

Pontos Críticos

Notamos que os pontos críticos de máximo ou mínimo ocorrem em pontos especiais chamados de pontos críticos. Os pontos críticos não são apenas aqueles onde ocorre o máximo ou mínimo de uma função, logo seu conceito é mais amplo.

Um ponto c é chamado de ponto crítico se f ( c )= 0 ou se f ( C) não existir.

Assim para encontrar o ponto crítico, deve procurar pontos no domínio onde a deriva vale zero ou onde a deriva não existe.

Existe ainda a derivada de primeira e segunda e entre outras.