Matemática Atps 1ª Semestre RH

Matemática Atps 1ª semestre RH

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. O mesmo sofreu uma grande evolução ao passar dos anos, sendo que a introdução do método analítico na definição de função (séc. XVI, séc. XVII) veio revolucionar a Matemática. Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano. Foi a partir desta época que uma nova teoria, o Cálculo Infinitesimal, surgiu e que acabou por revelar capital no desenvolvimento da Matemática contemporânea.

Porém a noção de função não é muito antiga. E, aspectos muito simples deste conceito podem ser encontrados em épocas anteriores. Mas, surgiu como conceito claramente individualizado e como objeto de estudo corrente em Matemática remonta apenas aos finais do século XVII.

O princípio da noção de função confunde-se assim com os princípios do Cálculo Infinitesimal. Ela surgia de forma um tanto confusa nos "fluentes" e "flexões" de Newton (1642 - 1727). Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus". Leibniz usou o termo apenas para caracterizar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais. Inseriu a terminologia de "constante", "variável" e " parâmetro". Com o acréscimo do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se inevitável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com isso, a palavra "função" foi encaixada na correspondência trocada entre 1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667 - 1748).

O termo "função" não aparecia ainda num léxico matemático surgido em 1716. Mas, dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a ter grande divulgação, contendo a sua definição de função de uma certa variável como uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes.

Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - mudando o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação f(x).

A noção de função era assim constatada na prática com a de expressão analítica, situação que haveria de vigorar pelos Séculos XVIII e XIX, apesar de se perceber que conduzia a diversas incoerências e limitações (de facto, uma mesma função pode ser

representada por expressões analíticas diferentes).

Esta noção, agregada às noções de continuidade e de crescimento em série, conheceu várias ampliações e clarificações, que lhe alteraram profundamente a sua natureza e significado. Como consequência da evolução do estudo das funções surgem numerosas aplicações da Matemática a outras ciências. Pois, os cientistas partindo de observações procuravam uma fórmula (uma função) para explicar os sucessivos resultados obtidos. A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis. Assim o conceito de função que hoje nos parece simples é resultado de uma evolução histórica conduzindo sempre cada vez mais à abstração, e que só no século XIX teve o seu final.

Na atualidade as funções estudadas na Análise Infinitesimal, e usadas nas aplicações, retêm no fundamental a ideia de dependência entre variáveis. A noção de função é de importância central na concepção e no estudo de modelos (dinâmicos, probabilísticos, de distribuição espacial), qualquer que seja a sua natureza, continuando por isso a ser uma noção-chave na Matemática atual.

ETAPA 1

Uma empresa do ramo agrícola tem o custo para a produção de q unidades de um Determinado insumo descrito por C(q)  3q  60. Com base nisso:

a) Determinar o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15 e 20 unidades deste insumo.

C(0) = 3.(0) + 60 = 0+60=60

C(5) =3.(5) + 60 = 15+60=75

C(10) =3.(10) + 60 = 30+60=90

C(15) =3.(15) + 60 = 45+60=105

C(20) =3.(20) + 60 = 60+60=120

b) Esboçar o gráfico da função.

c) Qual é o significado do valor encontrado para C, quando q  0 ?

O significado do valor encontrado para C, é custo fixo.

d) A função é crescente ou decrescente? Justificar.

A função é Crescente, por que maior produção maior custo.

e) A função é limitada superiormente? Justificar.

Não, porque não tem limite de produção.

RELATÓRIO PARCIAL

Ao explanar o exercício, analisamos quanto maior for a produção de insumo maior será o seu custo, logo a definição do valor encontrado para c, quando q=0; de que este valor já é o custo inicial pois não tem nenhuma unidade fabricada no momento e é pago 60 (sessenta reais) que é o valor inicial que da o nome de custo fixo. Pois a função é crescente, porque o valor de q é positivo, pois quanto maior for o valor de q maior será seu valor, por isso a função sempre será crescente. A função não é limitada superiormente por ser uma reta e ser sempre crescente, pois não poderá ser encontrado um valor limite.

ETAPA 2

O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 8 210 2 E  t  t , onde o consumo E é dado em kWh, e ao tempo associa-se t  0 para Janeiro, t  1 para fevereiro, e assim sucessivamente.

a) Determinar o(s) mês (es) em que o consumo foi de 195 kWh.

Janeiro (t=0) = (0)² - 8 (0) + 210 = 210 KWH

Fevereiro (t=1) = (1)² - 8 (1) + 210 = 203 KWH

Março (t=2) = (2)² - 8 (2) + 210 = 198 KWH

Abril (t=3) =