Minimos Quadrados

UNINORTE: CENTRO UNIVERSITARIO DO NORTE

MINIMOS QUADRADOS

MANAUS-AM

2014

VANESSA

MINIMOS QUADRADOS

Orientador: Wanderlan Carvalho de Albuquerque

MANAUS-AM

2014

INTRODUÇÃO

Ao decorrer deste trabalho será apresentado o assunto mínimos quadrados, este trabalho de pesquisa tem como objetivo geral, conhecer melhor essa teoria com a intenção de entendermos como se aplica esta ferramenta de ensino na área de engenharia civil.

Mínimos quadrados

Modelo matemático

Chama-se modelo matemático as sistema teórico ou conceito abstrato através do qual se descreve uma situação física ou um conjunto de acontecimentos. Esta descrição não é necessariamente completa ou exaustiva. Como um modelo serve um propósito específico, a sua formação pode variar largamente de um ponto de vista para outro. Deste modo, o mesmo sistema físico pode ser descrito por mais do que um modelo.

Um modelo matemático pode ser dividido em duas partes conceituais: o modelo funcional e o modelo estocástico:

Modelo funcional

O modelo funcional é composto por relações que descrevem a geometria ou características físicas do problema em questão.

Exemplo 1: Para a determinação da área de um terreno retangular com lados a e b o modelo funcional é A = ab.

Exemplo 2: Para a determinação da forma de um triângulo com ângulos α, β e γ o modelo funcional será α + β + γ = 180˚.

Modelo estocástico

O modelo estocástico é composto pelo conjunto de relações que descrevem as propriedades estatísticas dos elementos envolvidos no modelo funcional. O modelo estocástico indica por exemplo a qualidade das observações feitas (as suas precisões, relativas ou absolutas), indica se as observações estão correlacionadas ou não, indica ainda as variáveis que são consideradas constantes durante o ajustamento e as que se pretendem determinar.

FINALIDADE DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

De acordo com o que foi dito no ponto 1.1.2., quando se pretendem determinar uma ou várias grandezas normalmente fazem-se mais observações do que as estritamente necessárias 4 para determinar o problema em questão. Devido à superabundância existente temos várias possibilidades de obter soluções para o problema, que serão tantas quantas as combinações que podemos formar com as observações, tomadas em número mínimo necessário para resolver o problema em questão.

Desta forma as observações l1, l2,...,ln não são consistentes com o modelo funcional, e teremos que substitui-las por um conjunto de estimativas l^ 1, l^ 2,..., l^ n (observações ajustadas) que satisfaçam o modelo funcional. Estas estimativas são obtidas adicionando a cada uma das observações uma quantidade denominada de correcção ou resíduo (vi) de tal forma que:

l^ i = li + vi com i = 1, 2,...,n

Mas existem vários valores de vi que darão origem a um conjunto de observações ajustadas consistente com o modelo funcional.

EXEMPLO:

Se para determinarmos a forma de um triângulo medirmos os seus três ângulos internos α, β e γ, teremos como modelo funcional a seguinte equação:

α + β + γ = 180˚

É no entanto muito provável que a soma dos três ângulos medidos não seja 180˚, devido à existência de erros aleatórios nas medições. Suponhamos então que a sua soma excede 180˚ em 3''. Para termos as observações consistentes com o modelo funcional teremos que substituir os valores observados por valores ajustados, que podemos obter de várias formas. Neste caso podemos por exemplo subtrair a cada ângulo observado 1'', ou subtrair 2'' a um ângulo e 1'' a outro, ou ainda subtrair os 3'' apenas a um ângulo, deixando os restantes dois inalterados.

Para escolhermos o "melhor" conjunto de observações ajustadas (ou seja os valores mais prováveis para as observações ajustadas) vamos utilizar um critério adicional, que é o critério dos mínimos quadrados.

PRINCÍPIO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

O critério dos mínimos quadrados consiste em minimizar a função

t Φ = v Wv ,

onde v é o vector dos resíduos associado às n observações l1, l2,...,ln

1

2

n,1

n

v

v

v

v

