O Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas

                       Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC[pic 1]

                       Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas – DCET

                        Álgebra II – CET 228

O conjunto P e seus axiomas básicos

Introdução:

Em matemática um conjunto é um agrupamento de elementos. Um conjunto é considerado um dos conceitos  mais básicos  sendo um elemento principal da teoria dos conjuntos ,ao qual aplica- se na maioria das vezes a elementos essenciais para  matemática .

A teoria dos conjuntos ocupa um lugar privilegiado na matemática moderna: todas as entidades na matemática, com algumas exceções, podem ser consideradas conjunto. Portanto, as questões acerca da natureza da matemática são basicamente questões acerca de conjunto.

Noção (Conjunto): Agrupamento de elementos x com características em comum.

Definição: Seja ∅ um conjunto de forma que:

[pic 2]

Exemplo:

 = {     ,     ,     ,... } : Polígonos regulares.[pic 3]

Observação: A definição formal de conjunto vem dado pelos Axiomas ZFC (zermelo, Frentil, Choice Axiom)

Exemplo:

1.        N*= { 1,2,3,4,5,... }

2.        Z ={ ...-3,-2,-1,0,1,2,3,... }

Subconjunto: Quando todo elemento de um conjunto A e também elemento de um conjunto B , dizemos que A é um subconjunto de B, ou uma parte de B.

[pic 4]

Lema: Para todo conjunto , temos que .[pic 5][pic 6]

Prova: se , pela definição;.[pic 7][pic 8]

Propriedades:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Onde:

Definição : sejam e y dois conjuntos, então o conjunto.    é chamado de união de x e y.[pic 14][pic 15][pic 16]

Definição : sejam e y dois conjuntos, então o conjunto.    é chamado de intersecção de x e y.[pic 17][pic 18][pic 19]

Axiomas Básicos

Axioma de Extensionalidade:

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Axioma de Compreensão ou Separação:

Possivelmente com outras variáveis livres além de , e nenhuma delas sendo , a seguinte fórmula é um axioma:[pic 25][pic 26]

Se P é uma propriedade (com o parâmetro p) então para qualquer X e p existe um conjunto   que contem todos aqueles u que existem em X  e  que têm a propriedade de P[pic 27]

[pic 28]

Axioma do Par

[pic 29]

Este axioma afirma que existe o conjunto com a e b como únicos membros, legitimando o termo  que será denotado  (note que o nome do termo depende de a e b). Em função da hierarquia cumulativa, o par  pode ser formado em qualquer estágio depois que  foram formados; logo, não tem último estágio. O conjunto  será denotado  sendo que contem a como único elemento. Este axioma é redundante. O axioma permitirá formar, junto com o axioma da reunião finita a ser introduzido a seguir, os conjuntos finitos da forma [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]