Os Aspectos a ser observados na análise de uma expressão numérica

Aspectos da álgebra na resolução das expressões numéricas.

Prof. Dr. Lourival Pereira Martins^[1]

Resumo.

        Nesse artigo trago alguns resultados da pesquisa desenvolvida para minha tese de doutorado no programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, sob a orientação da Prof. Dr. Marlene Alves Dias. Nele analiso a resolução apresentada por um grupo de estudantes do Ensino Básico de expressões numéricas envolvendo as quatro operações. A fundamentação da pesquisa toma como referencial didático a teoria antropologia do didático Chevallard (1999, 2002) e seguindo os princípios da engenharia didática desenvolvo as análises a priori e a posteriori de duas dessas tarefas, tarefas a e b. Nessa análise busco relacionar o acerto na resolução da tarefa a pode levar ao erro na resolução da tarefa b. Os resultados nos permitiram concluir que, pelo menos no grupo de alunos pesquisados, o estabelecimento da relação pessoal de forma insatisfatória por parte dos estudantes com as chamadas “regras operatórias”, entre elas a que define a prioridade da multiplicação e divisão em relação a soma e subtração, induz ao erro na resolução desse tipo de tarefa sendo observado um índice de correlação entre os estudantes que erraram a tarefa b e acertaram de 0,94.

Palavras chaves. Aritmética, Expressões aritméticas, dificuldade na resolução de expressões numéricas.

Introdução

        Os saberes relacionados as expressões numéricas são tradicionalmente trabalhados, em nosso sistema escolar no Ensino Fundamental Ciclo I como parte do estudo das quatro operações fundamentais da aritmética. A importância de tal saber normalmente não é questionada até o momento em que os estudantes são apresentados a expressões mais complexas envolvendo um grande número de operações. Essas exigem, mais atenção e cuidado pois envolve a aplicação das propriedades operatórias relacionadas as estruturas numéricas que dão origens as chamadas “regras operatórias” que definem prioridades como, primeiro devemos efetuar a multiplicação ou divisão e somente depois a soma ou subtração.

Em minha tese de Doutorado, Martins (2015) desenvolvi estudos buscando compreender quais aspectos^[2] da álgebra estão presentes na realização de tarefas, como esse tipo de expressão. Quais deles levam ao desenvolvimento, por parte dos estudantes da relação pessoal com os saberes relacionados a aritmética e que permitem o desenvolvimento da relação com os saberes ligados a álgebra escolar^[3]. Meu objetivo foi o de compreender as dificuldades enfrentadas pelos estudantes no momento em a relação institucional propõe aos mesmos, tarefas relacionadas a esse ramo do conhecimento matemático. 

Nesse artigo analisamos e identificamos que a falta do estabelecimento e uma relação pessoal satisfatória por parte dos estudantes com as estruturas numéricas, leva o mesmo a resolver incorretamente expressão que utilizam esse tipo de estrutura.  

Referencial teórico

        Escolhemos como referencial teórico a Teoria Antropológica do Didático, de Chevallard (1999, 2002), de acordo com a qual toda atividade humana se expressa por meio da realização de tarefas. A execução dessas tarefas se dá com a utilizando técnicas e tecnologias próprias que permitem a elaboração não só de uma tarefa especifica, mas de um conjunto de tarefas semelhantes que o autor denomina de tipos de tarefas.

        Além da Teoria Antropológica do Didático, utilizamos também como suporte teórico os níveis de conhecimentos esperados dos estudantes, definidos por Robert (1997), e as noções de ostensivos e não-ostensivos , definidas por Bosch e Chevallard (1999).

        Nesse artigo apresentamos alguns resultados relacionados a relação pessoal desenvolvida por alguns estudantes do Ensino Fundamental e Médio de uma escola da Grande São Paulo que responderam ao teste diagnóstico proposto como parte de minha tese de doutorado. Os dados que aqui apresentamos se refere a uma sequência de expressões numéricas, quadro 1, cuja análises nos permitiu verificar a relação pessoal desenvolvida por esses estudantes com os aspectos de estrutura das operações numéricas, de memória, linguagem e equivalência.

QUADRO 1 – Expressões numéricas propostas na avaliação diagnóstica.

Resolver a expressão, (registrando todos as etapas utilizadas na resolução): 15+ 84 – 12 +5= 8 . 34 – 13 . 14= 15 +  4 . 5 -  3 = 150 – [(12 + 5) . ( 5 – 3) +( 12 + 9) ÷ ( 8 – 5) ] =

FONTE: O autor (2015). 

Para a realização dessas tarefas é necessário a aplicação das quatro operações numéricas: somar, subtrair, multiplicar ou dividir dois números e suas propriedades. Sua execução está associada ao nível técnico de acordo com a definição de Robert (1999), pois no enunciado temos de forma explicita a solicitação para que o estudante “resolva a expressão”.

Os não-ostensivos, de acordo com Bosch e Chevallard (1999) estão relacionados aos números e operações numéricas no conjunto dos números naturais. A resolução pode ocorrer no conjunto dos números naturais, mas à medida que os estudantes evoluem, nos anos escolares, a solução pode ocorrer no conjunto dos números inteiros.

Nessa tarefa, entre outros ostensivos, temos os associados à soma, diferença e produto, expressos de forma explicita, como por exemplo (12 + 9) da expressão “d” ou implícitas, como o produto 4 . 5, na expressão “c”, devido as propriedades estruturais que as operações numéricas^[4] carregarem consigo, propriedades essas que definem prioridade de execução, não possibilitando a simples realização sequencial, contrariando a “visão cultural comum que acredita existir rigorosa correspondência entre a leitura e a escrita” (BOSCH e CHEVALLARD 1999, p 15.).