Pesquisa Operacional

prof. Ifrahin Hernánmdez López 1

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

x1

x2

FACULDADE ATUAL DA AMAZÔNIA

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO – PESQUISA OPERACIONAL

RESPOSTAS EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

MÉTODO SIMPLEX - SOLUÇÃO GRÁFICA

EXERCÍCIO Nº 1

Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente a oficina

fabrica apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de

simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos:

madeira e mão de obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.

RECURSO DISPONIBILIDADE

MADEIRA 12 m²

MÃO-DE-OBRA 8 H h

O processo de produção é tal que, para fazer 1 mesa, a fábrica gasta 2 m² de madeira e 2 H.h de

mão-de-obra. Para fazer um armário a fábrica gasta 3 m² de madeira 1 H.h de mão-de-obra.

Além disso , o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de $4

e cada armário dá uma margem de $1. O problema do fabricante é encontrar o programa de

produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro.

M O D E L O

DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS

X1: QUANTIDADE A PRODUZIR DE MESAS

X2: QUANTIDADE A PRODUZIR DE ARMÁRIO

FUNÇÃO OBJETIVO

MAX L = 4 . X1 + 1. X2

RESTRIÇÕES

Madeira 2 X1 + 3. X2
12

Mão-de-obra 2 X1 + 1 . X2
8

Não-negatividade X1  0

Não-negatividade X2 0

SOLUÇÃO GRÁFICA

2 2 8 x1 + x =

(3, 2 )

2 3 12 x1 + x2 =

2

Procurando a solução ótima nos

pontos extremos:

(0,0)
X1 = 0 ; X2=0 ; L = 0

(4,0)
X1 = 4 ; X2=0 ; L = 16

(0,4)
X1 = 0 ; X2=4 ; L = 4

Resolvendo o sistema:

2 8

2 3 12

1 2

1 2

+ =

+ =

x x

x x

temos ( 3, 2)

(3,2)
X1= 3, X2 = 1, L = 14

Por tanto, a solução ótima será

X1 = 4 ; X2=0

Que faz máximo o valor da F.O.

L = 16

prof. Ifrahin Hernánmdez López 2

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

x1

x2

EXERCÍCIO Nº 2

Um carpinteiro possui 6 peças de madeira e dispõe de 28 horas de trabalho para confeccionar

biombos ornamentais. Dois modelos venderam muito bem no passado, de maneira que ele se

limitou a esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2 peças de madeira e 7hs de trabalho,

enquanto o modelo II necessita de 1 peça de madeira e 8hs de trabalho. Os preços dos modelos

são, respectivamente, R$120,00 e R$ 80,00. Quantos biombos de cada modelo o carpinteiro deve

montar se deseja maximizar o rendimento obtido com as vendas?

M O D E L O

DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS

X1: QUANTIDADE A PRODUZIR DE BIOMBOS DO MODELO I

X2: QUANTIDADE A PRODUZIR DE BIOMBOS DO MODELO II

FUNÇÃO OBJETIVO

MAX L = 120. X1 + 80. X2

RESTRIÇÕES

Peças de madeira 2 X1 + X2
6

Horas trabalhadas 7 X1 + 8 X2
28

Não-negatividade X1  0

Não-negatividade X2  0

SOLUÇÃO GRÁFICA

2X1+ X2 = 6

( 2,2222 ; 1,5556 )

7 X1 + 8 X2 = 28

Procurando a solução ótima

nos pontos extremos:

(0,0)
X1 = 0 ; X2=0 ; L = 0

(4,0)
X1 = 4 ; X2=0 ; L = 480

(0,4)
X1 = 0 ; X2=4 ; L = 320

Resolvendo o sistema:

7 8 28

2 6

1 2

1 2

+ =

+ =

x x

x x

temos que:

X1 = 2,2222 e X2 = 1,5556

L = 391,11

Por tanto, a solução ótima será

X1 = 4 ; X2=0

Que faz máximo o valor da

F.O.

L = 391,11

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10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

x1

x2

EXERCÍCIO Nº 3

Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 reais e o lucro

unitário de P2 é de 150 reais. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e

3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de

120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os

montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2

por mês. Construa e resolva o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de

maximizar o lucro da empresa.

M O D E L O

DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS

X1: QUANTIDADE A PRODUZIR DO PRODUTO P1

X2: QUANTIDADE A PRODUZIR DO PRODUTO P2.I

FUNÇÃO OBJETIVO

MAX L = 100 X1 + 150 X2

SUJEITO A

Tempo requerido 2X1 + 3X2

≤

120

Limitação P1 X1

40

Limitação P2 X2

≤

30

Não-negatividade X1

≥

0

Não-negatividade X2

0

SOLUÇÃO GRÁFICA

X1= 40

2X1 + 3X2 = 120

(15,30) X2 = 30

(40; 13,333)

Procurando a solução ótima nos

pontos extremos:

(0,0)
X1 = 0 ; X2=0 ; L = 0

(0,30)
X1 = 0 ; X2=30 ; L = 4500

(40,0)
X1 = 40 ; X2=0 ; L = 4000

Resolvendo o sistema:

40

2 3 120

1

1 2

=

+ =

x

x x

temos que:

X1 = 40 e X2 = 13,333

L =5999,95

Resolvendo o sistema:

30

2 3 120

2

1 2

=

+ =

x

x x

temos que:

X1 = 15 e X2 = 30

L = 6000

Por tanto, a solução ótima será

- Produtos P1 a produzir : 15

- Produtos P2 a produzir : 30

Que faz máximo o valor da F.O.

L = R$6.000,00

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1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

x2

EXERCÍCIO Nº 4

Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros são de

R$2.000,00 por alqueire de milho e de R$1.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha que suas

limitações sejam: terra disponível é de 8 alqueires e água disponível para irrigação de 80.000 litros

sendo que deseja-se plantar no máximo 4 alqueires de milho. Cada alqueire de milho requererá

10.000 litros de água para irrigação e cada alqueire de alfafa requererá 20.000 litros de água.

Modele e resolva o problema.

M O D E L O

DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS

X1: QUANTIDADE DE ALQUEIRES DE MILHO

X2: QUANTIDADE DE ALQUEIRES DE ALFAFA

FUNÇÃO OBJETIVO

MAX Z = 2 000 X1 + 1 000 X2

RESTRIÇÕES

Água disponível 10 000 X1 + 20 000 X2

≤

80 000

Alqueires disponíveis X1 + X2

8

Milho a plantar X1

≤

4

Não-negatividade X1

≥

0

Não-negatividade X2

0

SOLUÇÃO GRÁFICA

X1 + x2 = 8

X1= 4

10 000 X1 + 20 000 X2 = 80 000

(4, 2)

Procurando a solução ótima nos

pontos extremos:

(0,0)
X1 = 0 ; X2=0 ; Z = 0

(4,0)
X1 = 4 ; X2=0 ; Z = 8000

(0,4)
X1 = 0 ; X2=4 ; Z = 4000

Resolvendo o sistema:

4

10000 20000 80000

1

1 2

=

+ =

x

x x

temos que:

X1 = 4 e X2 = 2

Z = 10 000

Por tanto, a solução ótima será

- Quant. Alqueires milho: 4

- Quant. Alqueires alfafa: 2

Que faz máximo o valor da F.O.

Z = R$10.000,00

Observe que em todos os casos, o valor ótimo se alcança em pontos extremos

da região de soluções factíveis.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

x2

EXERCÍCIO Nº 5

Resolva, pelo método gráfico, o seguinte modelo de programação linear.

MIN Z = 3X1 + 2X2

SUJEITO A

X1 + 2X2

≥

2

2X1 - X2

≤

4

2X1 + X2

≤

8

X1

≥

0

X2

≥

0

2X1 - X2 = 4

( 3, 2)

2X1 + X2 = 8

X1 + 2X2 = 2

Procurando a solução ótima nos

pontos extremos:

(0,2)
X1 = 0 ; X2=2 ; Z = 4

(2,0)
X1 = 2 ; X2=0 ; Z = 6

(0,8)
X1 = 0 ; X2=8 ; Z = 16

Resolvendo o sistema:

2 8

2 4

1 2

1 2

+ =

− =

x x

x x

temos que:

X1 = 3 e X2 = 2

Z = 13

Por tanto, a solução ótima será:

( o menor valor devido a que o valor

requerido para Z é mínimo )

X1=0 , X2=2 , Z = 4