Pesquisa Operacional 2

Em matemática, problemas de Programação Linear (PL) são problemas de optimização nos quais a função objetivo e as restriçõessão todas lineares.

Programação Linear é uma importante área da optimização por várias razões. Muitos problemas práticos em pesquisa operacionalpodem ser expressos como problemas de programação linear. Certos casos especiais de programação linear, tais como problemas de network flow e problemas de multicommodity flow são considerados importantes o suficiente para que se tenha gerado muita pesquisa em algoritmos especializados para suas soluções. Vários algoritmos para outros tipos de problemas de optimização funcionam resolvendo problemas de PL como sub-problemas. Historicamente, ideias da programação linear inspiraram muitos dos conceitos centrais de teoria da optimização, tais como dualidade, decomposição, e a importância da convexidade e suas generalizações.

Observaremos no desenvolvimento desta ATPS diversos contextos que irão nos mostrar o quanto é importante à maximização dos lucros viabilizando alocação de recursos limitados e maximizando os impactos nas tarefas da tomada de decisão.

Na primeira etapa veremos através da Programação Linear, a importância de se executar uma tarefa, como veremos nos exemplos abaixo, onde será feito o levantamento de quantos metros de madeira serão utilizados para a execução de um armário e de uma cadeira. Teremos algumas demonstrações de respectivos valores serão citados para calcularmos quanto seria gasto nos mesmo.

Na segunda etapa será feito um levantamento bibliográfico para observar qual será a melhor maneira de se construir um modelo matemático. Através de alguns estudos vimos que modelo matemático é uma representação ou interpretação simplificada de realidade, ou uma interpretação de um fragmento de um sistema, segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais. Baseado nisso dar-se o melhor modelo em questão.

A terceira etapa irá nos falar a respeito de variáveis de folga da matéria prima e mão de obra, onde observaremos detalhadamente; as variáveis, a mão de obra, a matéria prima, e os lucros. Também o tempo gasto para produção de cada uma dessas variáveis, cálculos para melhores detalhes, e gráficos para demonstração.

E a quarta etapa é um complemento da terceira etapa, que irá nos mostrar detalhadamente a resolução dos problemas citados na terceira etapa, para melhor compreensão dessa programação linear. 2- MODELAGENS DE PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS.

Programação Linear é uma técnica de otimização bastante utilizada na resolução de problemas quantitativos que tenham seus modelos representados por expressões lineares, sendo elas equações e/ou inequações. Pela sua simplicidade e a possibilidade de aplicação em uma considerável diversidade de problemas, tornou-se um recurso bastante difundido.

Em um modelo de Programação Linear, existe uma combinação de variáveis, cujo objetivo é ser maximizada ou minimizada. Para essa combinação de variáveis de decisão chamaremos de Função Objetivo. Em todo modelo de Programação Linear, existem restrições, representadas por equações e/ou inequações, que indicam uma limitação na situação real, tal como, escassez de recursos, limitações de mercado, etc. Dado um modelo em PL, identificamos sempre um Parâmetro, que são valores fixos e independentes e também as Variáveis de Decisão, sendo elas que poderão assumir diversos valores, de forma a maximizar ou minimizar a função objetivo.

Os problemas de Programação Linear estão entre as aplicações mais bem-sucedidas comercialmente da Pesquisa Operacional; de fato, há considerável evidência de que eles estão entre as aplicações de ao estruturar problema sob a forma de um modelo matemático, o intuito é de nos ajudar no processo de decisão: que atividades empreender e quanto de cada uma, a fim de satisfazer um dado objetivo. Programação Linear é uma ferramenta de planejamento que nos ajuda a selecionar que atividades (variáveis de decisão) empreender, dado que essas alternativas (diversas alternativas) competem entre si pela utilização de recursos escassos (restrições) ou então precisam satisfazer certos requisitos mínimos. O objetivo será maximizar (minimizar) uma função das atividades, geralmente lucros (perdas). O problema resume-se na maximização (ou minimização) de uma função linear, a função objetiva, sujeita a restrições também lineares.

2.1- As maneiras mais adequadas para construção de um modelo matemático.

Formulação do problema.

Nesta face, deverá haver uma identificação dos elementos do problema que incluem variáveis controláveis, variáveis não controláveis, as restrições sobre as variáveis e os objetivos para definir uma boa solução. O papel do decisor é fundamental, pois é ele quem determina os limites de uma dada analise e o que é uma questão de juízo pessoal.

Problema.

Uma marcenaria produz dois modelos de certo produto, armário e cadeira, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.

Variáveis

Mão de obra

Mat. Prima

Lucro (R$)

X¹

16h

8m²

R$50,00

X²

5h

1m²

R$20,00

30h

12m²

O processo de produção é tal que, para fazer uma cadeira a fábrica gasta 1 m2 de madeira e 5 H.h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 8 m2 de madeira e 16 H.h de mão de obra.

Além disso, o fabricante sabe que cada cadeira dá uma margem de contribuição para o lucro de R$ 20 e cada armário de R$ 50.

Restrições:

Quantidade de mão de obra (horas) para a confecção dos dois móveis (armário e cadeira).

Quantidade