Pesquisa Operacional

PESQUISA OPERACIONAL

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1: CONSTRUÇÃO DE MODELOS 03

CAPÍTULO 2: MÉTODO GRÁFICO 06

CAPÍTULO 3: MÉTODO SIMPLEX 11

CAPÍTULO 4: PROBLEMA DOS TRANSPORTES 20

REFERÊNCIAS 29

CAPÍTULO 1

CONSTRUÇÃO DE MODELOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1.1 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de R$ 1.000,00 e o lucro unitário de P2 é R$ 1.800. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades para P1 e 30 unidades para P2. Construa o modelo de programação linear que objetiva Maximizar o lucro.

Solução:

P1: Lucro – R$ 1.000,00

Tempo de produção P1: 20 horas

P2: Lucro – R$ 1.800,00

Tempo de produção P2: 30 horas

Tempo Disponível de Produção: 1200horas

Demanda Esperada P1: 40 unidades

Demanda Esperada P2: 30 unidades

Unidade produzida do Produto P1: x

Unidade produzida do Produto P2: y

Função Objetivo:

Maximizar: 1000x + 1.800y

Restrições:

- Tempo de Produção: 1.200h

20x + 30y  1.200

- Demanda Esperada do Produto P1: 40 unidades

x  40

- Demanda Esperada do Produto P2: 30 unidades

y  30

Logo:

Maximizar Lucro: Max Z = 1000x + 1.800y

Restrições:

20x + 30y  1.200

x  40

y  30

x , y  0

1.2 A necessidade mínima de vitaminas na alimentação é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovo para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade de carne e ovo que deve ser consumida de forma a ter o Menos custo possível. Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada unidade de ovo custa R$ 2,5.

Solução:

Necessidade mínima de Vitamina: 32 unidades / dia

Necessidade mímima de Proteínas: 36 unidades / dia

- 1 unidade de carne:

- 1 unidade de ovo:

Unidade consumida de carne: x

Unidade consumida de carne: y

Minimizar Custo: Min Z = 3x + 2,5y

Restrições:

4x + 8y  32

6x + 6y  36

x, y  0

CAPÍTULO 2

MÉTODO GRÁFICO

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2.1 Resolva pelo Método Gráfico o seguinte modelo de Programação Linear:

Max Z = 3x + 4y

Sujeito a:

a) Solução 01: Coordenadas da Zona Permissível

Representação gráfica das inequações num mesmo eixo cartesiano.

As restrições apresentam uma área comum que está destacada em vermelho que caracteriza a Zona Permissível, ou seja, a área onde está a solução ótima do problema de Maximização.

Esta área define 5 vértices, cujas coordenadas são:

• A(0,0)

• B(0,4)

• C – Interseção das retas:

Logo: x + 4 = 6  x = 2

Portanto: C(2,4)

• D – Interseção das retas:

Logo: 4 + y = 6  y = 2

Portanto: D(4,2)

• E(4,0).

Definição da Solução Ótima do Problema:

Vamos verificar em qual vértice a Função Objetivo atinge o seu maior valor:

Max Z = 3x + 4y

ZA = 3(0) + 4(0) = 0

ZB = 3(0) + 4(4) = 16

ZC = 3(2) + 4(4) = 22

ZD = 3(4) + 4(2) = 20

ZE = 3(4) + 4(0) = 12

Logo a Função Objetivo atinge o seu maior valor em Z = 22, para x = 2 e y = 4.

b) Solução 02: Critério da Função Objetivo

Uma outra forma de determinar a solução do problema de maximização é através da representação gráfica da função objetivo no mesmo gráfico das restrições. Os pontos candidatos a solução ótima continuam sendo os mesmos.

Por se tratar de um problema de maximização, o último ponto que a função objetivo interceptar será o ponto que representará a solução ótima do problema.

São representadas duas retas da Função Objetivo:

A primeira adotando Z = 12, resulta x = 4 e y = 3.

A segunda adotando