Pesquisa Operacional

TEXTO – BASE DAS AULAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 4º. CICLO / MATEMÁTICA

Prof ª. Lúcia Stefani (Org.) UNIMONTE – SANTOS – SP

CAP. I – MODELOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 1. Análise de investimentos

Neste modelo de P.L. desejamos maximizar uma função linear, chamada função objetiva a várias variáveis, respeitando-se um sistema linear de desigualdades, que recebem o nome de restrições. As restrições representam limitações nos recursos disponíveis (capital, mão de obra, recursos minerais, fatores de produção, etc.).

Numa marcenaria são fabricadas mesas e escrivaninhas; cada mesa é vendida com um lucro de 3 unidades monetárias (u.m.) e demora 2,5 horas para montagem, 3 horas para polimento e 1 hora para encaixotar; cada escrivaninha é vendida com lucro de 4 u.m. e requer 1 hora para montagem, 3 horas para polimento e 2 horas para encaixotar. A marcenaria dispõe de mão de obra de 20 horas para montagem, 30 horas para polimento e 16 horas para encaixotar. Quantas mesas e quantas escrivaninhas deve a marcenaria produzir, de maneira a obter lucro máximo?

Seja o nº. de mesas e o nº. de escrivaninhas. 1x2x O problema consiste em maximizar a função objetiva: L = 3 + 4 1x2x que atenda as seguintes restrições de mão de obra:

0 e 0 )

)entoencaixotam( 1621 )

)polimento( 30 3 3 )

)montagem( 20 1 5,2 )

xxd xxc xxb xxa

2. Problema da dieta

Neste modelo de P.L. procuramos a solução que minimiza uma função objetiva (chamada solução ótima). Cada restrição agora é dada em forma de desigualdade do tipo “maior ou igual”, já que a quantidade de nutrientes a serem consumidos não poderá ser menor que as quantias mínimas exigidas.

Um indivíduo preocupado com a sua saúde, deseja ingerir um mínimo diário de 36 unidades de vitamina A, 28 unidades de vitamina C e 32 unidades de vitamina D. Cada kg de carne custa 9 u.m. e contém 2 unidades de vitamina A, 2 de C e 8 de D; cada kg de peixe custa 12 u.m. e fornece 3 unidades de vitamina A, 2 de C e 2 de D. Qual a combinação de custo mínimo que garante as necessidades diárias?

Para equacionarmos o problema, vamos chamar de a quantidade de carne a ser

consumida e a quantidade de peixe; teremos que procurar a solução que minimiza a função objetiva:

C = 9 + 12 1x2x

E que atenda as restrições:

de)negativida (não 0 e 0 )

)D vit.unid.( 32 2 8 )

)C vit.unid.( 28 2 2 )

)A vit.unid.( 36 3 2 )

xxd xxc xxb xxa

OBSERVAÇÃO: a restrição de não negatividade é inerente a todos os problemas de P.L., pelo que não faremos mais referência a ela; graficamente significa que iremos trabalhar apenas no 1º. quadrante do plano cartesiano. CAP. I I – SOLUÇÃO GRÁFICA DE PROBLEMAS DE P. L.

Da Geometria Analítica sabemos que uma desigualdade é representada no plano cartesiano por um semi-plano (na figura 1 temos a representação gráfica da inequação 2x + 3y ≤ 6 ).

Como as restrições dos problemas de P.L. são dadas em forma de desigualdades,