Principio multiplicativo

Neste módulo você vai aprender a usar uma importante ferramenta de contagem,

conhecida como Princípio Multiplicativo. Ao final da leitura, espera-se que você

tenha adquirido familiaridade e habilidade no uso deste princípio e a distinguir

escolhas dependentes e independentes.

Os únicos pré-requisitos para a leitura deste módulo são as habilidades

básicas referentes às quatro operações elementares. As idéias importantes são

introduzidas aos poucos, através de problemas resolvidos e exercícios, que devem

ser resolvidos ao longo da leitura. Recomendamos que você leia o texto sem pressa,

procurando absorver as idéias aos poucos e resolvendo os problemas discutidos

antes de ler as soluções, bem como os exercícios propostos.

Para terminar esta introdução, fazemos uma observação importante. Você vai

notar que às vezes escrevemos expressões como 2× 4 + 3 × 3 sem nos preocupar

em calcular o resultado. Isto é proposital, e tem o objetivo de mostrar que o

importante não é fazer a conta, mas sim saber como usar os dados iniciais do

problema e qual a conta que deve ser feita. Em particular, você deve notar que os

números usados nos problemas não são importantes, mas sim os raciocínios

apresentados.

1. O Princípio Multiplicativo para duas escolhas

primeiro

escolha da saia

depois

escolha da blusa

2

Começamos com um problema simples, mas que

contém idéias importantes para a discussão do

Princípio Multiplicativo.

Problema 1.1 Maria tem 2 saias, uma azul e

uma cinza, e 4 blusas, uma azul, uma verde, uma

amarela e uma vermelha. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?

Podemos resolver este problema é pensando em “se vestir” como “primeiro

escolher uma saia e depois escolher uma blusa”. Basta então fazer a tabela ao lado

para ver que a Maria pode se vestir de 8 maneiras diferentes.

Podemos também fazer um diagrama de árvore, como ilustrado ao lado. Cada

um dos pontos do lado direito do diagrama representa uma

maneira da Maria se vestir; por exemplo, o terceiro ponto

de cima para baixo corresponde a ela se vestir com uma

saia azul e uma blusa verde.

É importante notar que, para resolver o nosso

problema, não há diferença entre o diagrama e a tabela;

eles são distintos na aparência, mas ambos equivalem a

fazer uma lista completa das possíveis maneiras da Maria

se vestir..

Exercício 1.1 Uma sala tem 5 homens e 7 mulheres. De quantas maneiras

diferentes é possível formar um casal com estas pessoas?

Vamos agora resolver outra vez o problema 1. Como acima, pensamos que a Maria

deve escolher primeiro uma saia e depois uma blusa. Então:

• se a Maria escolher a saia azul ela terá 4 possibilidades para escolher uma

blusa, que pode ser azul, verde, amarela ou vermelha;

• e se ela escolher a saia cinzenta ela também terá 4 possibilidades para

escolher uma blusa.

Ao final, concluímos que a Maria pode se vestir de 4 + 4 = 2× 4 maneiras diferentes

Resumindo: Maria tem 2 escolhas para a saia e, para cada uma destas escolhas, ela

azul

amarela

verde

azul

vermelha

azul

amarela

verde

cinza

vermelha

3

tem 4 escolhas para a blusa; logo ela pode se vestir de 4 + 4 = 2× 4 maneiras

diferentes.

Por que resolvemos mais uma vez o problema 1? A resposta é simples; este

último modo de resolver o problema funciona para qualquer número de saias e

blusas, sem nenhum trabalho adicional. Imagine que a Maria tivesse 397 saias de

cores diferentes e 572 blusas, também de cores diferentes. Neste caso, uma tabela

ou um diagrama ficariam muito grandes (certamente não caberiam em uma folha de

papel!) e levariam um tempo enorme para fazer. Por outro lado, o raciocínio anterior

funciona sem que seja necessário fazer tabelas ou diagramas: para cada uma das

397 escolhas de saia, a Maria tem 572 escolhas de blusa, e logo ela pode se vestir

de 14+4444+24+4L4+443 = ×

397 vezes

572 572 572 572 397 572maneiras diferentes. Se você quiser, pode

fazer a conta 397×572 = 227084, mas esta é a parte fácil do problema; como já

dissemos anteriormente, o importante é saber que esta é a conta que deve ser feita.

Vamos