Sistemas de Equações Lineares

ENGENHARIA CICLO BÁSICO

1° SEMESTRE A

PROF° ROGERIO PIZZINATTO

ALGEBRA LINEAR

Santa Barbara d´Oeste, 07 de junho, 2012.

SÚMARIO

INTRODUÇÃO 1

ETAPA 1

O que é uma Matriz 2

Montagem de Matriz 3

Igualdade de Matriz 4

Soma de Matriz 5

Diferença de Matriz 6

Matriz inversa 7

Produtos 9

ETAPA 2

Determinantes 11

ETAPA 3

Sistemas de Equações Lineares 17

ETAPA 4

Sistemas de Equações Lineares 19

ETAPA 5

Equações Lineares: Regra de CRAMER 20

EATAPA 6

Sistemas de Equações Lineares: Gauss-Jordan 21

Etapa 7

Vetores 22

Adição 23

Diferença 24

CONCLUSÃO 25

BIBLIOGRAFIA 26

INTRODUÇÃO

Este ATPS (Atividade Prática Supervisionada) tem a finalidade de ensinar ao aluno sobre Álgebra Linear, desenvolvido por meio de alunos que juntaram vários assuntos de vários livros para estar ajudando você. Os assuntos são: Matriz, Determinantes, Sistemas Lineares, Aplicação de Regra de CRAMER, Método de Gauss Jordan e Vetores.

1

O QUE É UMA MATRIZ.

Uma matriz de ordem m x n é qualquer conjunto de m x n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Representação:

Cada elemento de uma matriz é localizado por dois índices: aij. O primeiro indica a linha, e o segundo, a coluna.

A matriz A pode ser representada abreviadamente por uma sentença matemática que indica a lei de formação para seus elementos.

A = (aij) m x n | lei de formação.

Ex.: (aij) 2x3 | aij = i x j

2

Montagem de matriz

Representação

Numa matriz genérica A de m linhas e n colunas, todos os elementos serão designados por uma mesma letra, afetada de dois índices numéricos: o primeiro índice acusa a linha onde se encontra o elemento considerado e o segundo índice, a coluna ( sempre nessa ordem). Assim por exemplo, na matriz A = [■(4&1&6@3&6&7)] os elementos são:

a_11= 4 (1º linha e 1º coluna)

a_12= 1 (1º linha e 2º coluna)

a_13= 6 (1º linha e 3º coluna)

a_21= 3 (2º linha e 1º coluna)

a_22= 2 (2º linha e 2º coluna)

a_23= 4 (2º linha e 3º coluna)

Genericamente, se a matriz A tem m linhas e n colunas, teremos:

a_11 a_12 a_13 ... a_1n

a_21 a_22 a_23 ... a_2n

A= . . . ... .

. . . ... .

a_m1 a_m2 a_m3 ... a_mn

Resumidamente, podemos representar A= (a_ij) m x n.

3

Igualdade de matriz

Duas matrizes A= [a_ij] e B= [a_ij], de ordem (m x n), são iguais se, somente se, a_ij=b_ij

Exemplo:

[█(2 4@3 1@0 2)]=[█(2 4@3 1@0 2)]

4

Soma De Matrizes

Para adicionarmos duas ou mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas.

Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.

Concluímos que:

Dadas duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B=C, com C de ordem mxn↔a_11 +b_11=c_11

Veja o exemplo abaixo:

Dados a matriz A=[█(5 4@0 2@1 -1)]3x2 e matriz B=[█(0 -2@5 -3@-1 0)]3x2, se efetuarmos a soma dessas matrizes teremos:

[█( 4@0 2@1 -1)]+[█(0 -2@5 -3@-1 0)]=[█(5 2@5 -1@0 -1)]

Com a soma das duas matrizes obtivemos outra matriz C[█(5 2@5 -1@0 -1)]3x2

5

Diferença de matrizes

A duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma