Teorema De Castigliano

HISTÓRICO SOBRE O TEOREMA CASTIGLIANO

O teorema em questão foi proposto em 1879 pelo engenheiro ferroviário, Carlo.

Alberto Castigliano, que publicou, em um livro intitulado “Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques, et ses applications” (em português: Teoria de Equilíbrio de Sistemas Elásticos e Suas Aplicações), o método para determinar o deslocamento e a inclinação de um ponto em um determinado corpo (Boley, 2008).

De acordo com Norton (2006), o Teorema de Castigliano apresenta-se como um dos métodos mais utilizados na engenharia para a resolução de problemas envolvendo deflexão de vigas. Norton ressalta ainda que, essa larga utilização decorre principalmente do fato de ser possível a solução de problemas de vigas estaticamente indeterminadas, além de vários motivos.

Boley (2008) relata que o teorema foi decorrência do surgimento de um grande grupo de engenheiros estruturais na Itália, durante a segunda metade do século XIX, que, em sua grande parte, foi responsável pela criação e popularização dos vários métodos de análise estrutural com base nos conceitos de trabalho-energia. Este grupo incluía homens de diversas vocações, e a lista proposta por Boley (2008), contendo os nomes, considerados como principais pelo autor, é notável, tanto pela versatilidade dos indivíduos relacionados, quanto pelas provas que apresentam o vigor intelectual e científico daqueles tempos: Alessandro Dorna (1825 - 1866, engenheiro e astrônomo), Luigi Menabrea (1809-1896, general e estadista), Francesco Emilio Sabbia (1838-1914, em geral), Angelo Genocchi (1817-1889, matemático), Enrico Betti (1823-1892, matemático e engenheiro), Vincenzo Cerruti (1850- 1909, engenheiro e matemático), Francesco Crotti (1839-1896, engenheiro), Luigi Donati (1846-1932, físico), e, claro, Castigliano.

Boley (2008) expõe que as principais contribuições de Castigliano são os dois teoremas conhecidos pelo seu nome. O primeiro destes, contido na sua tese, Intorno ai sistemi elastici, afirma que a derivada parcial da energia de deformação considerada como uma função das forças aplicadas (ou momentos) que atuam sobre uma estrutura linear elástica, com relação a apenas uma dessas forças (ou momentos), é igual ao deslocamento (ou rotação) na direção da força (ou momento) do seu ponto de aplicação. Boley afirma ainda que, Castigliano incluiu o caso de reações externas, não prescritas, observando que quando o apoio correspondente a essas reações não for flexível, a derivada parcial é zero e que o seu teorema, em seguida, reduz-se ao "princípio do menor esforço" de autoria de Luigi Federico Menabrea. Em 1875 Castigliano publicou seu segundo teorema, em que a energia de deformação é considerada uma função dos deslocamentos indetermináveis de pontos de limite discretos; sua derivada em relação a um destes deslocamentos resulta na força correspondente atuante no corpo.

Na abordagem de Norton (2010), o Tefiguraorema de Castigliano é dado como um método de caráter mais prático do que a maioria dos outros métodos para cálculo de deflexão de vigas, por ser um método energético, ressaltando que o Teorema de Castigliano configura se como um dos mais utilizados para o cálculo de deflexão de vigas sendo, tal método, também capaz de solucionar casos de vigas estaticamente indeterminadas. Norton expõe ainda que, o princípio que norteia o Teorema de Castigliano está no fato de que quando um corpo elástico sofre deslocamento devido à aplicação de uma determinada força, torque ou momento, uma energia é armazenada nesse corpo em forma de tensão. Para pequenos deslocamentos em vários tipos de geometria, a relação entre a força, momento ou toque aplicado e o deslocamento resultante pode possuir um caráter linear.

Essa relação também pode ser chamada de razão de mola do sistema (k). A área dentro da curva de deflexão do carregamento corresponde à energia de deformação U armazenada. Quando a relação é linear, tal área corresponde à área do triangulo, que em termos equacionais corresponde a (NORTON, 2010):

Uma explicação mais detalhada sobre o Teorema de Castigliano é dada por Popov (1978), ao afirmar que a energia de deformação de um dado corpo pode ser expressa por uma

função quadrática das forças externas P1, P2,..., Pk,..., Pn, M1, , Mp, isto é:

Dando continuidade ao raciocínio de Popov, supondo-se que essa energia corresponda à energia de deformação de um corpo como mostrado na Fig. 3(a), o aumento infinitesimal nessa função (dU), para um aumento infinitesimal em todas as forças aplicadas dPk e dMm, decorre da aplicação da regra da cadeia na diferenciação. Isso resultará em:

dMp (3.7)

∂M p Figura 3 – Sequências possíveis para aplicação de carga em um sistema elástico

Rocha (1969). Norton (2010) também afirma que, a relação proposta por Castigliano pode ser aplicada a qualquer carregamento seja ele axial, deflexão, cisalhamento ou torção. Se mais de um desses casos existirem em um mesmo corpo analisado, seus efeitos podem ser sobrepostos usando a equação de Castigliano para cada caso e somando-se os resultados em seguida.

O método de Castigliano, devido à Carlo Alberto Castigliano, é um método para determinar os deslocamentos de um sistema linear elástico baseado em derivadas parciais da energia de deformação.

O conceito básico pode ser facilmente entendido, observando que uma mudança em energia é igual à força causadora multiplicada pelo deslocamento (pela equivalência trabalho/energia) resultante. Portanto, a força causadora é igual à mudança de energia dividida pelo deslocamento resultante. Alternativamente, o deslocamento resultante é igual à mudança de energia dividida pela força causadora. As derivadas parciais são necessárias para relacionar as forças causadoras e o deslocamento resultante com a

Primeiro teorema de Castigliano

Aplicável para forças em uma estrutura elástica. O método de Castigliano para calcular forças é uma aplicação de seu primeiro teorema, que estabelece:

Se a energia de deformação de uma estrutura elástica pode ser expressa como uma função do deslocamento generalizado qi, então a derivada parcial da energia de deformação em relação ao deslocamento generalizado fornece a força generalizada Qi.

Na forma de uma equação,

Sendo U a energia de deformação.

Segundo teorema de Castigliano

Aplicável para deslocamentos em uma estrutura elástica linear. O método de Castigliano para calcular deslocamentos é uma aplicação de seu segundo teorema, que estabelece:

Se a energia de deformação de uma estrutura linear elástica pode ser expressa como uma função da força generalizada Qi, então a derivada parcial de energia de deformação em relação à força generalizada fornece o deslocamento generalizado qi na direção de Qi.

Na forma de uma equação,

Exemplo:

Para uma viga de Euler-Bernoulli engastada com uma carga P na extremidade livre, o deslocamento na extremidade livre pode ser determinado pelo segundo teorema de Castigliano:

Sendo E o módulo de elasticidade, I o momento de inércia da seção transversal e M(x) =P.x a expressão do momento interno na distância x do ponto de engaste da viga. Portanto,

Este resultado é exatamente a expressão conhecida para o deslocamento máximo de uma viga engastado com uma carga concentrada em sua extremidade livre.

"A derivada parcial do trabalho das forças internas em relação a uma força atuante fornece o deslocamento corresponde à força considerada na direção de ação da força em questão."

O Teorema de Castigliano pode ser usado na determinação das reações de apoio de estruturas estaticamente indeterminadas e em qualquer tipo de deformação.

Exemplo:

Considere uma viga AB, sobre a qual está sendo aplicada uma carga uniforme w e uma força P em seu extremo. Sendo O comprimento da viga de 2m, w = 4 kN/m, P = 6 kN e E.I = 5 MN.m² , determinar a flecha (deflexão linear) no ponto A.

Resolução: