Teoria Dos Erros

Teoria dos Erros

1. Introdução

As grandezas físicas são determinadas experimentalmente por medidas ou combinações

de medidas. Essas medidas tem uma incerteza intrínseca que advém das características dos

equipamentos utilizados na sua determinação e também do operador. Assim, a experiência

mostra que, sendo uma medida repetida várias vezes com o mesmo cuidado e procedimento pelo

mesmo operador ou por vários operadores, os resultados obtidos não são, em geral, idênticos.

Ao fazermos a medida de uma grandeza física achamos um número que a caracteriza.

Quando este resultado vai ser aplicado, é freqüentemente necessário saber com que confiança

podemos dizer que o número obtido representa a grandeza física. Deve-se, então, poder

expressar a incerteza de uma medida de forma que outras pessoas possam entende-las e para isso

utiliza-se de uma linguagem universal. Também deve-se utilizar métodos adequados para

combinar as incertezas dos diversos fatores que influem no resultado.

A maneira de se obter e manipular os dados experimentais, com a finalidade de conseguir

estimar com a maior precisão possível o valor da grandeza medida e o seu erro, exige um

tratamento adequado que é o objetivo da chamada “Teoria dos Erros”, e que será abordada aqui

na sua forma mais simples e suscinta.

2. Algarismos significativos

Vamos considerar uma situação hipotética em que temos um objeto AB e desejamos

medi-lo com uma régua graduada em centímetros, como se mostra na Figura 1.

Figura 1 - Medida de um objeto com uma régua graduada em centímetros

Na leitura do comprimento do objeto AB, podemos afirmar com certeza que ele possui 8

cm exatos, mas a fração de 1 cm a mais dos 8 cm não podemos afirmar com certeza qual é. Esta

fração não se pode medir, mas pode ser avaliada ou estimada pelo experimentador dentro de seus

limites de percepção.

Se 3 experimentadores fossem anotar o comprimento de AB:

1) Todos os três anotariam os 8 cm exatos.

2) Mas poderiam avaliar a fração do 1 cm restante de formas diferentes, como:

fração de 1 cm = 0,7 cm

fração de 1 cm = 0,8 cm

fração de 1 cm = 0,6 cm

e nenhum dos três estariam errados.

Logo o comprimento de AB poderia ser anotado como sendo:

AB = 8 cm + 0,7 cm, ou

AB = 8 cm + 0,8 cm, ou

AB = 8 cm + 0,6 cm

Se, por exemplo, um quarto experimentador anotasse a fração do 1 cm como sendo 0,75

cm, que sentido se poderia atribuir a esse resultado?

Ao se medir com uma régua graduada em centímetro, tem sentido avaliar décimos de

centímetros (milímetros) mas é discutível ou mesmo inaceitável avaliar centésimos ou frações

menores. Em medições, é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor 4

divisão da escala do instrumento. Estimar centésimos ou milésimos da menor divisão da escala

está fora da percepção da maioria dos seres humanos.

Se tomarmos a medida que representa o comprimento do objeto AB como 8,7 cm,

observamos que ela apresenta 2 dígitos ou algarismos. Um, o 8, que representa a medida exata,

isenta de qualquer dúvida, e o outro, o 7, que resultou da medida da fração de 1 cm avaliada na

escala, logo, é no algarismo 7 que residirá a dúvida ou incerteza da medida do comprimento.

Podemos então, dizer que as medidas realizadas pelos três experimentadores é composta

de 1 algarismo exato, (não duvidoso, o 8) e o algarismo duvidoso (onde reside a incerteza da

leitura, o 7 ou o 8 ou o 6).

Definimos então, algarismos significativos de uma medida como todos os algarismos

que temos certeza (os exatos) e mais um duvidoso (sempre o algarismo duvidoso é o último da

direita).

Exemplos:

15,4 cm: temos 3 algarismos significativos (1 e 5 são exatos e 4 é o duvidoso)

21,31 m/s: temos 4 algarismos significativos (2,1 e 3 são exatos e 1 é o duvidoso)

8,0 m/s2

: temos 2 algarismos significativos ( 8 é o exato e 0 é o duvidoso)

6 N: temos 1 algarismo significativo e ele próprio é o duvidoso

1,6 x 10-19: temos 2 algarismos significativos

É importante salientarmos aqui, que a quantidade de algarismos significativos de uma

determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Por exemplo, na

medida o objeto AB:

8,7 cm: 2 algarismos significativos

8,7 x 10-3 m = 0,0087 m: 2 algarismos significativos

8,7 x 10-5 km = 0,000087 km: 2 algarismos significativos

8,7 x 10 mm = 87 mm: 2 algarismos significativos

Os dígitos ou