ÁREA DE TRIÂNGRAFO NO PLANO

Condição de alinhamento entre 3 pontos: Três pontos estão alinhados, se e somente se o determinante da matriz abaixo for NULO:

Sejam os pontos:

A(p,q)

B(r,s)

C(t,u)

[p..q..1]

[r...s..1] = D

[t...u..1]

AREA DO TRIÂNGULO NO PLANO

ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS.

Podemos utilizá-la para determinar a área de triângulos no plano. Vc entra com as coordenadas dos pontos e calcula o determinante D.

Em seguida, utiliza a fórmula: Área = |D|/2

A área é igual à metade do valor absoluto(módulo) do determinante da matriz.

com issso se paramos para analisarmos

Caso D=0, então os pontos estão sobre uma mesma reta, ou seja, estão alinhados.

O alinhamento de três pontos pode ser determinado aplicando o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3x3. Ao calcular o determinante da matriz construída utilizando as coordenadas dos pontos em questão e encontrando valor igual a zero, podemos afirmar que existe colinearidade dos três pontos. Observe os pontos no plano cartesiano a seguir:

As coordenadas dos pontos A, B e C são:

Ponto A (x1,y1)

Ponto B (x2,y2)

Ponto C (x3,y3)

Através dessas coordenadas iremos montar a matriz 3x3, as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna; as ordenadas, a 2ª coluna e a terceira coluna será complementada com o número um.

Aplicando Sarrus temos:

x1*y2*1 + y1*1*x3 + 1*x2*x3 – (y1*x2*1 + x1*1*y3 + 1*y2*x3) = 0

x1y2 + y1x3 + x2*x3 – y1x2 – x1y3 – y2x3 = 0

Exemplo 1

Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.

Resolução:

Vamos construir a matriz através das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus.

2*(–3)*1 + 1*1*(–2) + 1*(–7)*0 – [1*(–3)*( –2) + 1*0*1 + 2*(–7)*1] = 0

– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0

– 8 – 6 +14 = 0

–14 + 14 = 0

0 = 0

Podemos verificar que os pontos estão alinhados, pois o determinante da matriz das coordenadas dos pontos é nulo.