Exercícios Matemática Álgebra Booleana de Conjuntos

Algebra booleana de conjuntos        Prof. Darlyn W. H. Vargas        UNEMAT

[pic 1]

Entre outros sistemas não numéricos, nas quais também é possível definir as operações de adição e multiplicação mais similares entre sí que a adição e multiplicação dos números é o “álgebra dos conjuntos”

Entenderemos por soma A + B dos conjuntos A e B simplesmente como a união de ambos conjuntos. Assim está claro que para quaisquer conjuntos A e B

A+B =B+A,

ou seja, para a adição de conjuntos se cumpre a lei comutativa.

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Além disso, de fato, quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C sempre

(A+B)+C =A+(B+C),

ou seja, tem lugar a lei associativa da adição de conjuntos. O conjunto (A + B) + C (ou A + (B + C)) pode ser indicado simplesmente por A + B + C omitindo os parêntensis; representa a união dos três conjuntos A, B e C (assim, o conjunto A + B + C coincide com a reagião sobreada toda).

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Convengamos agora em denominar o produto A · B dos conjuntos A e B como a parte comúm ou a interseção de estes conjuntos. Si o conjunto A consta dos pontos do oval sombreado horizontalmente e B o conjunto de pontos do oval sombreado verticalmente

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o conjunto A · B ficará cuberto na mesma figura por uma “grade” sublinhada horiontal e vertialmente. Está claro também que para a multiplicação de conjuntos se cumpre a lei comutativa, ou seja, para conjuntos quaisquer A e B

A·B=B·A

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Além disso é igualmente obvio que para a multiplicação de conjuntos é válida também a lei associativa, ou seja, para quaisquer três conjuntos A, B e C

(A·B)·C =A·(B·C)

O conjunto (A · B) · C (ou A · (B · C)) pode se indicar simplesmente por A · B · C omitindo os parênteses; representa a parte comúm ou interseção dos três conjuntos A, B e C, é dizer, A · B · C é un triple sombreado.

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É notável que para quaisquer três conjuntos A, B e C se cumpre também a lei distributiva:

(A+B)·C =A·B+B·C.

Convém empregar em tal caso a representação gráfica para compreender esta lei. Seja o conjunto A+B esté sombreado horizontalmente e o conjunto C, verticalmente, de modo que o conjunto (A + B) · C resulte cuberto por uma “grade” de linheas horzontais e verticais. Os conjuntos A · C e B · C estão sombreados com linhas oblíquas à direita e â esquerda, respectivamente: o conjunto A · C + B · C coincide com a região sombreada toda. Mas é fácil ver que a região A · C + B · C sombreada não difiere da região (A + B) · C duplamente sombreada em (A + B) · C.

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Não é difícil compreender qual “conjunto” desempenha o papel do cero em nossa “álgebra de conjuntos”. De fato, a adição deste conjunto O (denotaremos o conjunto “cero” pela letra O) não deve alterar nenhum conjunto; logo, o conjunto O não contém nenhum elemento, é “vazio”. Se nós não incluíramos entre os conjuntos o conjunto vazio, nós não poderíamos indicar o produto (ou interseção) de dois conjuntos quaisquer que não tem elementos comuns.

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Está claro que se O é o conjunto vazio, então para qualquer conjunto A

A+O=A.

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Não menos claro resulta que qualquer que seja o conjunto A sempre

A·O=O,

visto que é necessáriamente vazia a interseção de qualquer conjunto A e o conjunto O carente de elementos.

Em quanto ao “conjunto unidade”, a situação é algo mais complicada. Este conjunto I (o denotaremos com a letra I) deve ser o conjunto tal que seu produto (ou seja, interseção) com qualquer conjunto A tem que coincidir com A. Assim desto se deduz que nosso conjunto I deve necessáriamente conter todos os elementos de todos os conjuntos A. Está claro que conjunto semelhante pode existir somente se nos limitamos a aqueles conjuntos A cujos elementos são tomados de uma determinada coleção de “objetos”. Neste contexto entenderemos por I o “conjunto maior” que contem todos os “objetos” considerados. Na “álgebra de conjuntos” este conjunto I leva o nome de unitário ou universo. É obvio que para qualquer conjunto “menor” A (e incluso para o conjunto A que coincide com I) teremos

A·I=A

em plena correspondência com a condição que define a unidade.

De este modo vemos que na “álgebra de conjuntos” construída as leis das operações se asemelham muito as leis da álgebra, referente aos números; não obstante esta semelhança com as leis numéricas não é total. É verdade que na álgebra de conjuntos tem lugar, como temos comprovado, quase todas as leis principais válidas para os números; mas nela também se cumprem outras leis que, posssivelmente, nós parececiam estranhas. Por exemplo, temos indicado já que para os números não tem lugar, como regra, a lei que resulta da igualdade

a · 0 = 0

se substituíramos nela a multiplicação pela adição e o zero pela unidade já que para quase todos os números a temos

a + 1 �= 1.

Em cambio, na álgebra de conjuntos a situação é distinta: aquí sempre

A+I =I.

De fato, o conjunto I é por definição, o “mais grande” e, por isso, é impossivel aumenta-lo mais: qualquer que seja o conjunto A (tomado entre os considerados) que agreguemos ao conjunto unitário I, sempre obtendremos o mismo conjunto I.

Além disso, ao substituir na lei distributiva dos números