A Dimensão Fractal Brasil
Por: estudosvini • 5/6/2020 • Projeto de pesquisa • 3.287 Palavras (14 Páginas) • 299 Visualizações
RESUMO
Neste trabalho, abordaremos sobre os conceitos de dimensão na geometria euclidiana e na geometria fractal, a diferenças entre elas e quando há necessidade do uso da geometria fractal, como, por exemplo, para o cálculo de uma linha costeira, uma vez que elementos da geometria euclidiana não são capazes, por si, de fazer uma medida precisa. Usaremos os conceitos da geometria fractal para calcular a dimensão fractal da costa litoral brasileira como um todo e, também, de regiões isoladas, como as Reentrâncias Maranhenses e as Baía de Paranaguá e de Todos os Santos, utilizando um programa em C++ criado exclusivamente para os cálculos e análises presentes neste trabalho.
Palavras-chave: Geometria Fractal, Dimensão Fractal de uma Linha Costeira, Algoritmo para Cálculo de Dimensão Fractal de uma Linha Costeira.
OBJETIVO
O presente trabalho tem por objetivo calcular a dimensão fractal da costa litoral brasileira e de algumas de suas regiões mais específicas, criando um programa em C++ para realiza-lo, comparando seus resultados com valores encontrados em outras costas e seus significados. Com os resultados, é possível fazer uma análise mais específica, dependendo da área de estudo desejada, como geologia, por conta da formação do solo, ou biologia, pela flora e fauna presente em regiões com diferentes valores de dimensão fractal.
INTRODUÇÃO
A geometria é um dos ramos da matemática que estuda questões tais como formas, tamanhos, distâncias relativas e propriedades dos espaços. A geometria analítica é voltada para estudos de coordenadas cartesianas baseadas nos conceitos de ponto e reta. Na geometria euclidiana, é adicionado o conceito de plano aos conceitos supracitados.
A geometria euclidiana é fundada por um grupo de axiomas elementares e noções como o ponto, a reta e o plano e nela estuda-se a realidade das dimensões de ordem zero (ponto), um (reta), dois (plano) e três. No estudo da geometria fractal, esse grupo não é introduzido. A abordagem desta geometria é feita em padrões irregulares de pequenas partes que se assemelham ao todo onde a geometria euclidiana não é aplicável. Segundo Mandelbrot [1], esta geometria não é capaz de representar algumas das formas da natureza como linhas costeiras, plantas, rios, nuvens e relevos.
Enquanto na geometria euclidiana trabalha-se com dimensões de números inteiros, na geometria fractal temos dimensões fracionadas, por isso o nome “fractal” introduzido por Mandelbrot em 1975 [1]. Esta geometria provou ser uma ferramenta útil, com aplicações em diversas áreas da ciência [2]-[6], já que seus resultados se mostraram importantes para análises mais detalhadas.
A geometria fractal permite a representação de certos elementos naturais que possuem características irregulares. Com a geometria fractal torna-se possível a criação de modelos mais próximos da realidade e também ferramentas para o estudo das mesmas. Essa geometria vem se consolidando nos últimos anos com o desenvolvimento da tecnologia computacional.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O fractal pode ser compreendido como um objeto que não altera sua forma à medida em que se altera sua escala, mantendo assim, sua forma original, conhecido como autossimilaridade, que é umas das características que o compõe tendo também a complexidade infinita e a dimensão fractal [7]. A complexidade infinita remete à recursividade na criação de uma figura fractal partindo de um objeto original e tendo infinitas repetições idênticas (ver Fig. 1). E a dimensão fractal é a interpretação do quão complexo e fracionário um fractal pode ser, quanto maior seu valor maior sua sinuosidade. Tomamos por exemplo a dimensão fractal da Bacia Fluvial do Rio Amazonas que é 1,85 [8] e dos angiogramas dos rins que é 1,61 [10] (ver Fig. 2)
[pic 1]
Fig. 1: Autossimilaridade: (a) uma porção da figura (em vermelho e em azul) se assemelham com a figura como um todo. (b) Os galhos são partes idênticas da árvore como um todo.
[pic 2]
Fig. 2: Bacia Fluvial do Rio Amazonas (à esquerda) e angiograma de um par de rins (à direita).
Um dos fractais mais conhecidos é o Triângulo de Sierpinski (ver Fig. 3(a)). Sua construção consiste em um triângulo equilátero completamente preenchido (nível 0). Tomam- se os pontos médios dos três lados do triângulo e, juntamente com os vértices do triângulo original, formam-se quatro triângulos congruentes. Retirando-se o triângulo central, ficamos com três triângulos congruentes (nível 1) e, assim, temos a iteração básica para a construção do fractal. Repetindo-se os passos anteriores nos triângulos remanescentes, construímos um Triângulo de Sierpinski. Sua construção sequencial é a seguinte: temos 1, 3, 9, 27, 81. ..
triângulos para os níveis 0, 1, 2, 3, 4. .. respectivamente.
[pic 3]
Fig. 3. (a) Triângulo de Sierpinski: Nota-se que o triângulo ADE é uma cópia idêntica do triângulo ABC, assim como os triângulos CDF e BEF. (b) 5 primeiros níveis para a construção do Triângulo de Sierpinski.
Um outro exemplo é a curva de Koch. Inicialmente sua construção dá-se por um segmento de reta, em seguida divide-se em três partes iguais e a reta central é substituída por um triângulo equilátero sem sua base. Repete-se os passos anteriores nas retas remanescentes e, assim, construímos a curva de Koch (ver Fig. 4). Nota-se que quando subimos de nível, substituímos três retas por quatro de mesmo tamanho, assim, multiplicamos por um fator de 4/3 o comprimento do nível anterior para obter o comprimento do nível seguinte. Com isso, temos que seu comprimento é uma progressão geométrica de razão 4/3 dada por:
4 𝑛
𝑆𝑛 = 𝑆0 ( )[pic 4]
3
(1)
Tendo o comprimento no nível zero igual a 1, a equação (1) pode ser escrita como:
Logo, no limite de infinitos níveis
4 𝑛
𝑆𝑛 = ( )[pic 5]
3
(2)
lim 𝑆𝑛 = ∞
𝑛→∞
(3)
[pic 6]
Fig. 4. Os 4 primeiros níveis na construção da Curva de Koch.
Por conta dessa infinita irregularidade, a curva acaba por preencher um “espaço” maior do que uma linha reta convencional, tendo, assim, uma dimensão fractal 𝐷 maior que a de uma reta, dimensão 1, e menor que um plano, que possuí dimensão 2. Podemos concluir assim que a dimensão fractal de
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