Calculo De Integral

intervalo em n subintervalos de comprimentos iguais . Sejam xo (=a), x1, x2, ..., xn (= b) as extremidades desses subintervalos, e sejam , , ..., pontos amostrais arbitrários nesses subintervalos, de forma que esteja no i-ésimo subintervalo . Então a INTEGRAL DEFINIDA DE DE f DE A e B é:

Desde que o limite exista e dè o mesmo valor para todas as possíveis escolhas de pontos amostrais. Se ele existir dizemos que f é integrável em .

Observações:

1) O símbolo foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal de integral . É um S alongado jé que integral é um limite de somas.

2) A integral definitiva é um número; ela não depende de x. Podemos usar qualquer letra para substituir x sem alterar o valor da integral.

3) A soma é chamada SOMA DE RIEMANN.

4) Embora tenhamos definido dividindo em subintervalos de igual comprimento, há situações nas quais é vantajoso trabalhar com intervalos de comprimentos diferentes.

5) Estabelecemos a integral definida para uma função integrável, mas nem todas as funções são integráveis, daí:

Teorema: Se f for contínua em ou f tiver apenas um número finito de descontinuidades de saltos, então f é integrável em ou seja, a integral definida existe.

Se f for integrável em , então o limite existe e dá o mesmo valor, não importa como escolhamos os pontos amostrais . Para simplificarmos o cálculo de integral, com fequência tomamos como pontos amostrais as extremidades direita. Então, = e a definição de integral se simplifica a seguir:

Teorema: Se f for integrável em temos então onde

e

Regra do Ponto médio: onde

e = ponto médio de

Exemplo: Use a regra do ponto médio com n = 5 para aproximar .

Solução: as extremidades dos 5 subintervalos: 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; portanto os pontos médios são: 1,1; 1,3; 1,5; 1,7 e 1,9. O comprimento dos subintervalos é de modo que a regra nos dá:

Propriedades da integral definida: (f e g são funções contínuas)

1.

3.

4,

5.

6.

7.

A integral definida como Média :

Vejamos o exemplo: Suponha que f(t) é a temperatura no instante t, medida em hora a partir da meia-noite e queremos calcular a temperatura média durante um período de 24 horas.

Começamos calculando a média das tempetaturas em n instantes espaçados igualmente durante o dia: t1,t2,......tn então temos como temperatura média: . Observa-se que quanto maior o n melhor a aproximação.

Escrevendo essa expressão como uma soma de Riemann no inmtervalo