Calculo Diferencial

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular

a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de

variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a

dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial

(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo

ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente,

prever o seu comportamento.

Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto

de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e

simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações

diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento

geral de vários tipos de sistemas.

Historicamente, a evolução do ramo da matemática no qual se insere o estudo

das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o desenvolvimento

da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de movimento

da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória

e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e

da relatividade.

Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais

diversas áreas do conhecimento. Para citar alguns exemplos de aplicações de

equações diferenciais em Ciências Naturais, temos o problema da dinâmica de

populações, o de propagação de epidemias, a datação por carbono radioativo,

a exploração de recursos renováveis, a competição de espécies como, por

exemplo, no sistema predador versus presa. Fora das Ciências Naturais, as

equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema

financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre

outras.

Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que

mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis.

Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em

termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas

cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje

em dia, ser tratados através de métodos computacionais.

Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas

através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão

de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do

conhecimento e, em particular, em Ciências Naturais.

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2 ASPECTOS TÉCNICOS DO USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

NA MODELAGEM DE SISTEMAS

O principal desafio que se apresenta na modelagem de sistemas em termos

de equações diferenciais é formular as equações que descrevem o problema a

partir de um conjunto restrito de informações, ou “pistas”, sobre o comportamento

geral do sistema.