Cálculo Diferencial

Cálculo Diferencial:-

1. Contexto Histórico:-

A evolução histórica do conceito de taxa de variação traduziu-se geometricamente nas tentativas

de se encontrar um processo para se traçar uma tangente a um gráfico em um ponto dado, dificuldade

esta conhecida como ‘problemas da tangente’.

Possibilitando um grande desenvolvimento no estudo de taxas de variação, o matemático francês

Pierre de Fermat (1601-1665), resolveu o problema da tangente de maneira relativamente simples. E

embora não dispusesse de uma notação apropriada para a sistematização desse conceito, suas idéias

representam o seu embrião e, de maneira mais ampla, o embrião do que se denomina hoje cálculo

diferencial, cuja invenção está associada aos nomes de Newton e Leibniz no século XVII.

Hoje em dia, o conceito de taxa de variação é usado nas situações mais diversas, como no

mercado de capitais para a previsão do comportamento do valor das ações de uma empresa; na

medicina, para a avaliação da melhora ou do agravamento do quadro clínico de um paciente pela

estimativa da taxa de variação da quantidade de uma substância no sangue, obtida pela coleta periódica

de sangue em um determinado período; para a dinâmica de funcionamento de uma represa que controla

a abertura de suas comportas a partir da taxa de variação do índice pluviométrico, etc.

___________________________________________________________________________________

2. Noção de Limite:-

O estudo do conceito de limite é importante em todo o cálculo diferencial, uma área da

Matemática que teve início com o trabalho de Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646-1716), para resolver problemas de Mecânica, de Geometria, de Economia, de Astronomia entre

outros.

Consideremos uma figura de forma retangular de área igual a 16.

2

8

Vamos colorir metade dessa figura, em seguida, metade da metade que sobrou, depois metade da

parte que ainda sobrou, e assim por diante. Observe como ficariam as cinco primeiras figuras pintadas.

Organizando os dados por meio de uma tabela, temos:

Números

de partes

(x)

0 1 2 3 4 5 6

Área da

parte

colorida (y)

0 8 12 14 15 15,5 15,75

8

2

16 = 12

4

16

2

16 + = 14

8

16

4

16

2

16 + + = 15

16

16

8

16

4

16

2

16 + + + = 15,5

32

16

16

16

8

16

4

16

2

16 + + + + =

Note que, repetindo esse processo sucessivamente, o número de partes coloridas (x) cresce

indefinidamente e a área da parte colorida (y) correspondente se aproxima da figura toda. Por isso,

dizemos que a área da parte colorida tende a 16.

lim y 16

x

=

®¥

Existem outras situações em que necessitamos estudar a função quando x cresce infinitamente.

Exemplos:

a) 0,5

2

1 = b) 0,25

2

1

2 = c) 0,00098

2

1

10 = d) 0,0000000000009094947

2

1

40 =

Observe que, quando dividimos um número real por outro cada vez maior, temos um quociente

que se aproxima de zero. Dessa forma, podemos dizer que:

0

2

1

lim x x

=

®¥

b) 21 = 2 b) 22 = 4 c) 210 = 1024 d) 230 = 1.073.741.824

Note que, quando x cresce indefinidamente no cálculo da potência 2x , obtemos um valor que

tende ao infinito. Dessa forma, podemos dizer que:

= ¥

®¥

lim 2x

x

___________________________________________________________________________________