Cálculo integral

INTRODUÇÃO

O Cálculo Integral é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

A ideia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram incompletos, mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções.

Há muito tempo os matemáticos buscam ferramentas para resolver problemas do nosso dia-a- dia, entre essas podemos destacar a Integral dupla, tripla e integrais de linha. Por meio dela é possível resolver diversos problemas como cálculo de áreas, volumes, massa, centro de massa, momento de inércia e outros. Sendo assim torna-se indispensável para nós da exatas a compreensão dessa ferramenta e da sua aplicabilidade na química, matemática, na física, na engenharia e em outras ciências.

DESENVOVIMENTO

1- A integral dupla

De acordo com Flemming e Gonçalves a integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para funções de duas variáveis reais. Essa extensão é obtida através da expansão da soma Riemann de uma variável real, para duas variáveis reais.

Note que quando realizamos esta expansão, estamos mudando o conjunto de integração. Quando integramos uma função de uma variável real, através do cálculo de uma integral simples, exigimos que a função seja definida em um intervalo fechado no conjunto R dos números reais. Já quando integramos uma integral dupla exigimos que ela seja definida numa região fechada do R².

1.1 Definição

Seja f uma função definida numa região retangular fechada D. O número L será o limite das somas da forma ∑