Distribuição Binomial

Distribuição Binomial

Consideremos as seguintes situações:

(i) Número de eleitores que comparecem a uma eleição;

(ii) Número de caras que ocorrem em 15 lançamentos de uma moeda;

(iii) Número de pacientes que procuram o ambulatório X com uma determinada

doença;

(iv) Número de pessoas que vão a uma farmácia.

Em todas estas situações temos um conjunto de provas repetidas que satisfazem as

seguintes condições:

(a) As diversas provas se realizam sob condições idênticas, por ex., os lançamentos da

moeda são realizados sob as mesmas condições.

(b) Cada prova comporta apenas dois resultados possíveis, mutuamente excludentes,

designados por sucesso (S) e fracasso (F), por ex., o eleitor vota ou não vota.

(c) A probabilidade de sucesso p é a mesma em cada prova, e permanece constante

durante todo o experimento. A probabilidade de fracasso, também constante, é

q 1p , de modo que p q 1.

(d) As provas são independentes umas das outras. O conhecimento do sucesso (ou

falha) de uma delas não modifica a probabilidade de sucesso (ou falha) nas provas

subseqüentes.

Provas repetidas nas condições (a) a (d) acima chamam-se provas de Bernoulli

ou ensaios de Bernoulli.

Seja então um experimento que consiste em um número fixo n de provas de

Bernoulli, com probabilidade p (constante) de sucesso em cada prova. X será a v.a. que

dá o número k de sucessos em n provas de Bernoulli.

Dizemos que uma v.a. X tem distribuição binomial com n ensaios de Bernoulli e

probabilidade p de sucesso se:

pois, para X k teremos observado k sucessos, cada um com probabilidade p e

conseqüentemente n kfracassos, cada um com probabilidade q 1p .

Notação: X ~. bn, p, que é equivalente a dizer que X tem uma distribuição Binomial

com parâmetros n e p.

Propriedades:

1. A média da distribuição binomial é: EX np

2. A variância da distribuição binomial é: VarX n p 1p

Exercício:

Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o timeA: a) ganhar