Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

As matrizes e os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas práticos, especialmente na área de Engenharia. Por exemplo, a obtenção da frequência natural do eixo traseiro de um automóvel, por envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas, acarreta um alto custo financeiro; portanto, faz-se necessária a utilização de métodos numéricos simples e precisos, como, por exemplo, o Método das Matrizes de Transferência, no qual, como o próprio nome evidencia, utilizam-se matrizes. Por sua vez, o projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas exige a resolução de um sistema de equações lineares, no qual o número de equações e variáveis cresce à medida que se torna mais complexa a estrutura. A forma matricial do sistema é, então, utilizada, analisando-se a singularidade da matriz dos coeficientes do sistema e a matriz coluna das forças externas, para se encontrar a matriz coluna das forças que atuam sobre as vigas. O Método dos Elementos Finitos, que tem grande aplicação em problemas de Engenharia, particularmente em problemas de Engenharia Civil e Mecânica, utiliza-se de sistemas lineares que envolvem grande número de variáveis, os quais são resolvidos computacionalmente, trabalhando-se com as matrizes dos sistemas. Também em outras áreas, como, por exemplo, na Computação e Pesquisa Operacional, a teoria das matrizes e os sistemas lineares são largamente utilizados.

Uma visão histórica: Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes

Considerado como o pai das matrizes, Arthur Cayley (1821 — 1895), em 1850 divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Matrizes surgiram para a resolução de sistemas lineares. No entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Joseph Louis Lagrange (1736 — 1813), em 1790. O primeiro a lhes dar um nome foi Augustin-Louis Cauchy (1789 — 1857) que as chamavam de tabelas. O nome matriz, como cohecido atualmente, foi dado por James Joseph Sylvester (1814— 1897), em 1850. Sylvester considerava matrizes com o único propósito de estudar determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter destaque e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.

Os primeiros estudos sobre determinantes datam provavelmente do século II a.C.. Mas foi só em 1683 que o japonês Seki Kowa (1637 – 1708) usou a idéia de determinante em seus trabalhos sobre sistemas lineares. O uso do determinante no Ocidente começou 10 anos depois num trabalho de Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 — 1716), ligado também a sistemas lineares. O francês Étienne Bézout (1730—1783), sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante.

E coube a outro francês, Alexandre-Theóphile Vandermode (1735 — 1796), a primeira abordagem da teoria dos determinantes. O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Além de Cauchy, 4 quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl Gustav Jakob Jacobi(1804 — 1851). Na matemática ocidental antiga possuímos poucas as evidencias de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o teve atenção bem maior. Os chineses representavam os sistemas lineares por meio de escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro.

Assim descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século III a.C.. Mas, foi só em 1683, num trabalho do japonês

Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio a ser fortalecido. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).

O que é uma matriz?

Uma matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m e n, onde n ≥ 1 e m ≥ 1.

Para representar essas linhas e colunas devemos obedecer às regras, dependendo do número de linhas e colunas a matriz recebe um nome e podemos também aplicar a elas as quatro operações.

A = (a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 …)

O que é Determinante?

Determinante é um tipo de matriz, mas essa deverá ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, que é chamada de matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas tem suas propriedades,