Matriz, Determinante, Sistemas De Equações Lineares E Princípio Da Indução Finita

Objetivo:

Esse trabalho tem como objetivo, demonstrar através de pesquisas utilizando-se de sites e livros acadêmicos, o conceito de Matriz, Determinante, Sistemas de Equações Lineares e Princípio da Indução Finita, bem como suas aplicações na Matemática Discreta.

Conceito de Matriz:

Matriz é uma tabela de linhas e colunas de símbolos sobre um conjunto.

As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

1 1 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

0 0 0 1

Exemplo de uma Matriz Quadrada, ou seja apresenta números de linhas igual ao número de colunas.

Formatação

Matrizes tem como representação letra maiúscula tendo seus termos representada por letras minúsculas, tendo como formatação a demonstração dos números de linhas e colunas.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

Tipos de Matriz

- Matriz Identidade:

É uma matriz quadrada e uma matriz diagonal, cuja função é de ser o elemento neutro, na multiplicação de matrizes. É denotada por In (onde n é a ordem da matriz), ou simplesmente por I. A matriz é construída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal têm valor um, e os demais elementos da matriz são zer

Para qualquer matriz A, as seguintes igualdades são válidas:

Representação de uma Matriz Identidade

- Matriz Transposta

É o resultado da troca de linhas por colunas em uma determinada matriz, uma matriz simétrica é toda a matriz que é igual à sua transposta.

A matriz transposta de uma matriz será representada por . Outras formas de representação encontradas na literatura são e

A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

- Matriz Coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente.

Por exemplo:

5 x 1

- Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero.

Por exemplo:

Podendo ser representada por 03 x 2.

- Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas.

Por exemplo:

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

- Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não.

Por exemplo:

- Matriz Identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero.

Por exemplo:

- Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:

A matriz oposta a ela é:

Conclui-se que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

- Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.

As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.

Multiplicação de Matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Multiplica-se a matriz para entender como se obtém cada Cij:

• 1ª linha e 1ª coluna

• 1ª linha e 2ª coluna

• 2ª linha e 1ª coluna

• 2ª linha e 2ª coluna