Matrizes e sistemas Lineares

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As matrizes e a forma escalonada

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A palavra escalonar vem da palavra latina scala, que significa “escada” ou “degraus”. Escalonar uma matriz significa dar a ela a forma de escada.

Se denotarmos a matriz dos coeficientes de um sistema linear por A e o vetor coluna dos termos constantes por b, a forma da matriz completa será [A | b]. Nem sempre será possível reduzir a matriz dos coeficientes à forma triangular.

Definição Uma matriz está na forma escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes propriedades:

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1. Todas as linhas que consistem inteiramente em zeros estão na parte inferior na matriz.
2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de elemento líder) está em uma coluna à esquerda de qualquer outro elemento líder abaixo dele.

Operações elementares com as linhas

As operações permitidas, chamadas operações elementares com as linhas, correspondem às operações que podem ser realizadas em um sistema de equações lineares para transformá-lo em um sistema equivalente.

Definição As seguintes operações elementares com as linhas podem ser realizadas em uma matriz:

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1. Trocar duas linhas.
2. Multiplicar uma linha por uma constante não nula.
3. Somar um múltiplo por uma linha com outra linha.

A seguinte notação para as três operações elementares com linha que podemos usar são:

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1.  significa trocar as linhas i e j.[pic 6]
2. kLi significa multiplicar a linha i por uma número real k.
3.  significa somar k vezes a linha j à linha i (e trocar a linha i pelo resultado).[pic 7]

O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma matriz em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.

Exercício: Reduza a seguinte matriz à forma escalonada:

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Obs.: Operações elementares com linhas são reversíveis – isto é, podem ser “desfeitas”. Assim, se uma operação elementar sobre as linhas converte A em B, existe também uma operação elementar sobre as linhas que converte B em A.

O Método de Eliminação de Gauss

Quando uma redução por linhas é aplicada à matriz completa de um sistema de equações lineares, criamos um sistema equivalente que pode ser resolvido por substituição de trás para a frente. O processo inteiro é conhecido como método de eliminação de Gauss, ou método de eliminação gaussiana.

O Método de Eliminação de Gauss

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1. Escreva a matriz completa do sistema de equações lineares.
2. Use operações elementares como as linhas para reduzir a matriz completa à forma escalonada por linhas.
3. Usando substituição de trás para a frente (retro substituição), resolva o sistema equivalente que corresponde à matriz linha reduzida.

Exercício: Resolva o sistema  .[pic 10]

O método de Eliminação de Gauss-Jordan

Uma modificação do método de eliminação de Gauss simplifica bastante a fase de substituição de trás para a frente e é particularmente útil quando os cálculos estão sendo feitos à mão em um sistema com infinitas soluções. Essa variante, conhecida como método de eliminação de Gauss-Jordan, baseia-se em reduzir ainda mais a matriz completa.

Definição Uma matriz está na forma escalonada reduzida (por linhas) se ela satisfaz às seguintes propriedades:

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1. Quaisquer linhas que consistem inteiramente de zeros estão na parte inferior da matriz.

2. O elemento líder em cada linha não nula é igual a 1 (chamado 1 líder).

3. Cada coluna que contém um 1 líder tem zeros em todas as outras posições.

As matrizes abaixo estão na forma escalonada reduzida

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A solução de cada um destes sistemas é imediata: no primeiro sistema, x2 é uma variável livre, enquanto que no segundo x1 e x4 são ambas variáveis livres; os dois sistemas têm portanto infinitas soluções. O terceiro sistema não tem solução e o quarto sistema tem solução única. Já a matriz

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está apenas na forma escalonada, não na forma escalonada reduzida. O uso de operações elementares para transformar a matriz aumentada de um sistema na forma escalonada reduzida.

É claro que, depois de uma matriz ter sido reduzida à forma escalonada, mais operações elementares com as linhas irão leva-la à forma escalonada reduzida. O que não é claro (embora a intuição possa sugerir) é que, diferentemente do que ocorria com a forma escalonada por linhas, a forma escalonada reduzida de uma matriz é única.

No método de eliminação de Gauss-Jordan, procedemos como no método de eliminação de Gauss, mas reduzimos ainda mais a matriz completa até a forma escalonada reduzida.

Método de eliminação de Gauss-Jordan[pic 14]

1. O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula (chamado o pivô da linha) é igual a 1.

2. O pivô da linha i + 1 ocorre à direita do pivô da linha i.

3. Se uma coluna contém um pivô, então todas os outros elementos desta coluna sã iguais a 0.

4. Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não-nulas.