Olimpíada De Matematica

PROBLEMA 1 Num quadro negro havia seis figuras: um círculo, um triângulo, um quadrado, um trapézio, um pentágono e um hexágono, pintados de seis cores: azul, branco, vermelho, amarelo, verde e marrom. Cada figura tinha somente uma cor e todas as figuras eram de cores diferentes. No dia seguinte perguntou-se qual era a cor de cada figura. Pablo respondeu: "O círculo era vermelho, o triângulo era azul, o quadrado era branco, o trapézio era verde, o pentágono era marrom e o hexágono era amarelo." Sofia respondeu: "O círculo era amarelo, o triângulo era verde, o quadrado era vermelho, o trapézio era azul, o pentágono era marrom e o hexágono era branco." Pablo errou três vezes e Sofia duas vezes, e sabe-se que o pentágono era marrom. Determine se é possível saber com certeza qual era a cor de cada uma das figuras.

PROBLEMA 2 Um número inteiro chama-se autodivi se é divisível pelo número de dois algarismos formado por seus dois últimos dígitos (dezenas e unidades). Por exemplo, 78013 é autodivi pois é divisível por 13, 8517 é autodivi pois é divisível por 17.

Encontre 6 números inteiros consecutivos que sejam autodivi e que tenham os dígitos das unidades, das dezenas e das centenas distintos de 0.

PROBLEMA 3 Um segmento AB de largura 100 está dividido em 100 segmentos menores de largura 1 mediante 9 pontos intermediários.

Ao extremo A designa-se o 0 e ao extremo B, o 1.

Gustavo designa a cada um dos 9 pontos intermediários um 0 ou um 1, a sua escolha, e logo pinta cada segmento de largura 1 de azul ou de vermelho, respeitando a seguinte regra: São vermelhos todos os segmentos que têm o mesmo número em seus extremos e são azuis os segmentos que têm números diferentes em seus extremos. Determine se Gustavo pode designar os 0's e os 1's de modo a obter exatamente 30 segmentos azuis. E 35 segmentos azuis? (Em cada caso, se a resposta é sim, mostre uma distribuição dos 0's e dos 1's, e se a resposta é não, explique o porquê.)

PROBLEMA 4 Há duas figuras de papel: um triângulo equilátero e um retângulo. A altura do retângulo é igual à altura do triângulo e a base do retângulo é igual à base do

Sociedade Brasileira de Matemática triângulo. Divida o triângulo em três partes e o retângulo em duas, mediante cortes retos, de modo que com os cinco pedaços possamos montar, sem buracos nem superposições, um triângulo equilátero. Para montar a figura, cada parte pode ser girada e/ou dar a volta. (Justifique que o triângulo montado é equilátero.)

PROBLEMA 5 a) Em cada casa de um tabuleiro 7 × 7 se escreve um dos números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 de forma que cada número esteja escrito em sete casas distintas. Será possível que em nenhuma fila e em nenhuma coluna fiquem escritos números consecutivos? b) Em cada casa de um tabuleiro 5 × 5 se escreve um dos números: 1, 2, 3, 4 ou 5 de forma que cada número esteja escrito em cinco casas distintas. Será possível que em nenhuma fila e nenhuma coluna fiquem escritos números consecutivos?

PROBLEMA 1 Determine o menor número de três dígitos que seja o produto de dois números de dois dígitos, de forma que os sete dígitos destes três números sejam todos diferentes.